Die Maximum-Likelihood-Schätzung (VLE) und das GARCH-Modell sind zwei ökonometrische Werkzeuge, die häufig verwendet werden, um Vorhersagen über den Streuungsgrad einer Stichprobe über einen bestimmten Zeitraum durch eine Autoregression zu treffen.
Mit anderen Worten, EMV und GARCH werden zusammen verwendet, um die durchschnittliche mittelfristige Volatilität eines finanziellen Vermögenswerts durch Autoregression zu ermitteln.
Empfohlene Artikel: Autoregressives Modell (AR), GARCH und EMV.
GARCH
GARCH-Modellformel (p, q):
Wo
Koeffizienten
Die Koeffizienten des GARCH-Modells (p, q) sind
- Die Konstante
Mit
sie bestimmen mittelfristig die durchschnittliche Volatilität. Wir beschränken die Konstante auf Werte größer 0, also (a + b) > 0.
- Der Fehlerparameter
bestimmt die Volatilitätsreaktion auf Marktschocks. Wenn dieser Parameter also größer als 0,1 ist, weist dies darauf hin, dass die Volatilität sehr empfindlich ist, wenn sich der Markt ändert. Wir beschränken den Fehlerparameter auf Werte größer 0, also auf > 0.
- Parameter
bestimmt, um wie viel die aktuelle Volatilität mittelfristig nahe der durchschnittlichen Volatilität liegt. Wenn dieser Parameter also größer als 0,9 ist, bedeutet dies, dass das Volatilitätsniveau nach einem Marktschock bestehen bleibt.
- Wir beschränken
kleiner als 1 sein, d. h. (a + b) < 1.
Wichtig
Obwohl diese Koeffizienten durch EMV erhalten werden, hängen sie indirekt von den Eigenschaften der Probe ab. Wenn also eine Stichprobe aus täglichen Renditen besteht, erhalten wir andere Ergebnisse als eine Stichprobe aus jährlichen Renditen.
EMV
Die EMV maximiert die Wahrscheinlichkeit der Parameter jeder Dichtefunktion, die von der Wahrscheinlichkeitsverteilung und den Beobachtungen in der Stichprobe abhängt.
Wenn wir also eine Schätzung der Parameter des GARCH-Modells erhalten möchten, verwenden wir die logarithmische Funktion der maximalen Wahrscheinlichkeit. Im GARCH-Modell nehmen wir an, dass die Störung einer Standardnormalverteilung mit Mittelwert 0 und Varianz folgt:
Dann müssen wir auf die Dichtefunktion einer Normalverteilung Logarithmen anwenden und die Maximum-Likelihood-Funktion finden.
Prozess
- Schreiben Sie die Dichtefunktion. In diesem Fall aus der normalen Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Wenn wir die Dichtefunktion bezüglich ihrer Parameter herleiten, finden wir die Bedingungen erster Ordnung (CPO):
Kommen Ihnen die Formeln auf der rechten Seite bekannt vor? Sie sind der berühmte Mittelwert und die Stichprobenvarianz. Dies sind die Parameter der Dichtefunktion.
- Wir wenden natürliche Logarithmen an:
- Wir beheben die obige Funktion:
- Um Schätzungen der maximalen Wahrscheinlichkeit der vorherigen Parameter zu erhalten, müssen wir:
Mit anderen Worten, um Schätzungen der GARCH-Parameter mit maximaler Wahrscheinlichkeit zu finden, müssen wir die Maximum-Likelihood-Funktion (vorherige Funktion) maximieren.
App
Müssen wir jedes Mal, wenn wir die logarithmische Funktion mit maximaler Wahrscheinlichkeit finden wollen, die vorherigen Schritte ausführen? Hängt davon ab.
Wenn wir davon ausgehen, dass die Häufigkeit der Beobachtungen zufriedenstellend an eine Standard-Wahrscheinlichkeitsverteilung angenähert werden kann, müssen wir nur die letzte Funktion kopieren.
Wenn wir annehmen, dass die Häufigkeit der Beobachtungen zufriedenstellend an eine Student-t-Verteilung angenähert werden kann, müssen wir die Daten standardisieren und Logarithmen auf die Student-t-Dichtefunktion anwenden. Führen Sie abschließend alle oben genannten Schritte aus.