Ein Schätzer ist eine Statistik, die bestimmte Bedingungen erfordert, um bestimmte Parameter einer Population mit bestimmten Garantien berechnen zu können.
Das heißt, ein Schätzer ist eine Statistik. Jetzt ist er nicht nur irgendein Statistiker. Es ist eine Statistik mit bestimmten Eigenschaften. Ein Beispiel könnte der Mittelwert oder die Varianz sein. Diese bekannten Metriken sind Schätzer.
Wir nennen diese beiden, weil sie die einfachsten sind, aber in der Statistik gibt es noch viel mehr. Zurück zur Definition, was verstehen wir unter bestimmten Bedingungen, damit bestimmte Parameter mit bestimmten Garantien berechnet werden können?
Zuallererst müssen wir verstehen, dass wir bei der Durchführung einer Forschungsstudie normalerweise einen bestimmten Parameter untersuchen möchten. Wir wollen zum Beispiel die durchschnittliche Baumhöhe in einer bestimmten Stadt in Kolumbien untersuchen. Die untersuchte Variable ist die Höhe der Bäume in einer bestimmten Stadt in Kolumbien. Der Parameter ist hingegen die durchschnittliche Höhe der Bäume in dieser Stadt.
Welche Bedingung müssten wir im obigen Beispiel von unserem Schätzer verlangen? Nehmen Sie zum Beispiel keine negativen Werte an. Und natürlich, dass die Berechnung der Durchschnittshöhe zu möglichen Werten führt. Wenn der höchste Baum 10 Meter beträgt, kann uns der Mittelwertschätzer keine 15 Meter geben. In diesem Fall könnte es kein Schätzer sein, da es keine physikalisch möglichen Werte ergeben würde.
Aus dem oben Gesagten schließen wir, dass die Schätzer Statistiker sind, die notwendigerweise mögliche Werte aus den von uns untersuchten Daten entnehmen müssen.
Nun reicht es nicht, nur Werte zu nehmen, die innerhalb des Datenbereichs liegen. Normalerweise werden von Ihnen bestimmte Eigenschaften verlangt, damit wir bestimmte Garantien haben. Es kann vorkommen, dass bestimmte Schätzer die Bedingung erfüllen, Schätzer zu sein, aber wenn sie schlecht schätzen, werden sie als schlechte Schätzer klassifiziert.
Empfohlene Eigenschaften eines Schätzers
Damit er seine Funktion gut erfüllen kann, wird empfohlen, dass die Schätzer zusätzlich zu ihrer Grundbedingung von Schätzern bestimmte zusätzliche Eigenschaften erfüllen. Diese Eigenschaften werden es ermöglichen, dass die aus unserer Studie gezogenen Schlussfolgerungen zuverlässig sind.
- Genug: Die Eigenschaft sufficiency gibt an, dass der Schätzer mit allen Daten in der Stichprobe arbeitet. Der Mittelwert erfasst beispielsweise nicht nur 50 % der Daten. Es berücksichtigt 100 % der Daten, um den Parameter zu berechnen.
- Unvoreingenommen: Die unverzerrte Eigenschaft bezieht sich auf die Zentralität eines Schätzers. Das heißt, der Mittelwert eines Schätzers muss mit dem zu schätzenden Parameter übereinstimmen. Wir sollten den Mittelwert eines Schätzers nicht mit dem Mittelwertschätzer verwechseln.
- Konsistent: Das Konzept der Konsistenz geht Hand in Hand mit der Stichprobengröße und dem Konzept des Limits. In einfachen Worten sagt uns das, dass die Schätzer diese Eigenschaft erfüllen, wenn sie bei einer sehr großen Stichprobe fast fehlerfrei schätzen können.
- Effizient: Die Effizienzeigenschaft kann absolut oder relativ sein. Ein Schätzer ist im absoluten Sinne effizient, wenn die Varianz des Schätzers minimal ist. Wir dürfen die Varianz eines Schätzers nicht mit einem Varianzschätzer verwechseln.
- Stark: Ein Schätzer wird als robust bezeichnet, wenn die Ergebnisse trotz der falschen Ausgangshypothese den realen sehr ähnlich sind.
Die oben genannten Eigenschaften sind die wichtigsten. Natürlich gibt es innerhalb jeder Eigenschaft viele verschiedene Fälle. Ebenso gibt es andere wünschenswerte Eigenschaften.
Andere wünschenswerte Eigenschaften von Schätzern
Ein Beispiel für eine wünschenswerte Eigenschaft ist die Invarianz gegenüber Skalenänderungen. Diese Eigenschaft gibt an, dass sich der zu schätzende Wert nicht ändert, wenn die Maßeinheit geändert wird. Wenn wir zum Beispiel Bäume in Zentimetern und dann in Metern messen, sollte der Mittelwert gleich sein. Damit könnten wir sagen, dass der Mittelwert ein invarianter Schätzer vor Skalenänderungen ist.
Eine weitere Eigenschaft, die in Statistikhandbüchern normalerweise angegeben wird, ist die Invarianz gegenüber Änderungen des Ursprungs. Um mit dem vorherigen Fall fortzufahren, werden wir einen hypothetischen Fall sehen. Angenommen, wir kommen nach der Messung aller Bäume zu dem Schluss, dass wir zur aufgezeichneten Höhe jedes Baums 10 Zentimeter hinzufügen müssen. Der verwendete Streifen war schlecht vermessen und wir müssen diese Änderung vornehmen, um die Daten an die Realität anzupassen. Was wir tun, ist ein Herkunftswechsel. Und die Frage ist, wird sich das Ergebnis der mittleren Höhenänderung ändern?
Im Gegensatz zum Maßstabswechsel wirkt sich hier der Ursprungswechsel aus. Wenn sich herausstellt, dass alle Bäume 10 Zentimeter höher sind, steigt die durchschnittliche Höhe.
Daher können wir sagen, dass der Mittelwert ein invarianter Schätzer vor Skalenänderungen, aber eine Variante vor Ursprungsänderungen ist.