Das Gesetz der großen Zahlen ist ein grundlegendes Theorem der Wahrscheinlichkeitstheorie, das angibt, dass die Häufigkeit eines bestimmten Ereignisses konstant ist, wenn wir das gleiche Experiment viele Male wiederholen (in Richtung unendlich gehen).
Das heißt, das Gesetz der großen Zahlen gibt an, dass, wenn derselbe Test wiederholt durchgeführt wird (z. B. eine Münze werfen, ein Roulette-Rad werfen usw.), die Häufigkeit, mit der ein bestimmtes Ereignis wiederholt wird (also Köpfe oder Siegel hoch, die Zahl 3 kommt schwarz heraus usw.) nähert sich einer Konstanten. Dies wiederum ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ereignis eintritt.
Ursprung des Gesetzes der großen Zahlen
Das Gesetz der großen Zahlen wurde erstmals von dem Mathematiker Gerolamo Cardamo erwähnt, allerdings ohne strengen Beweis. Später gelang Jacob Bernoulli in seinem Werk "Ars Conjectandi" 1713 eine vollständige Demonstration. In den 1830er Jahren beschrieb der Mathematiker Siméon Denis Poisson ausführlich das Gesetz der großen Zahlen, das die Theorie perfektionierte. Andere Autoren würden auch spätere Beiträge leisten.
Beispiel für das Gesetz der großen Zahlen
Stellen Sie sich folgendes Experiment vor: Wirf einen gemeinsamen Würfel. Betrachten wir nun das Ereignis, dass wir die Zahl 1 erhalten. Wie wir wissen, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl 1 erscheint, 1/6 (der Würfel hat 6 Seiten, eine davon ist eins).
Was sagt uns das Gesetz der großen Zahlen? Es sagt uns, dass, wenn wir die Anzahl der Wiederholungen unseres Experiments erhöhen (wir machen mehr Würfe), die Häufigkeit, mit der das Ereignis wiederholt wird (wir erhalten 1), näher an eine Konstante herankommt, die gleich ist Wert zu seiner Wahrscheinlichkeit (1/6 oder 16,66%).
Möglicherweise beträgt die Häufigkeit, mit der wir 1 erhalten, in den ersten 10 oder 20 Starts nicht 16%, sondern ein anderer Prozentsatz wie 5% oder 30%. Aber da wir immer mehr Tonhöhen machen (sagen wir 10.000), wird die Häufigkeit, mit der die 1 erscheint, sehr nahe bei 16,66% liegen.
In der folgenden Grafik sehen wir ein Beispiel für ein reales Experiment, bei dem ein Würfel wiederholt gewürfelt wird. Hier können wir sehen, wie sich die relative Häufigkeit des Ziehens einer bestimmten Zahl ändert.
Wie durch das Gesetz der großen Zahlen angezeigt, ist die Frequenz bei den ersten Starts instabil, aber wenn wir die Anzahl der Starts erhöhen, stabilisiert sich die Frequenz tendenziell bei einer bestimmten Zahl, die die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des Ereignisses ist (in diesem Fall Zahlen von 1 bis 6, da es sich um das Werfen eines Würfels handelt).
Fehlinterpretation des Gesetzes der großen Zahlen
Viele Leute interpretieren das Gesetz der großen Zahlen falsch, weil sie glauben, dass ein Ereignis das andere überwiegen wird. So glauben sie beispielsweise, dass, da die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl 1 auf einem Würfel würfelt, nahe bei 1/6 liegen sollte, wenn die Zahl 1 nicht auf den ersten 2 oder 5 Würfen erscheint, es sehr wahrscheinlich ist, dass In der Nächster. Dies ist nicht wahr, da das Gesetz der großen Zahlen nur für viele Wiederholungen gilt, so dass wir den ganzen Tag damit verbringen können, einen Würfel zu würfeln und die Frequenz 1/6 nicht erreichen.
Der Wurf eines Würfels ist ein unabhängiges Ereignis und wenn eine bestimmte Zahl erscheint, hat dieses Ergebnis keinen Einfluss auf den nächsten Wurf. Erst nach Tausenden von Wiederholungen werden wir in der Lage sein zu überprüfen, dass das Gesetz der großen Zahlen existiert und dass die relative Häufigkeit einer Zahl (in unserem Beispiel 1) 1/6 beträgt.
Die Fehlinterpretation der Theorie kann dazu führen, dass Menschen (insbesondere Spieler) Geld und Zeit verlieren.
Bayes-TheoremHäufigkeitswahrscheinlichkeitZentraler Grenzwertsatz