Die Varianz-Kovarianz-Matrix ist eine quadratische Matrix der Dimension nxm, die die Varianzen in der Hauptdiagonale und die Kovarianzen in den Elementen außerhalb der Hauptdiagonale sammelt.
Mit anderen Worten, die Varianz-Kovarianz-Matrix ist eine Matrix, die die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten hat und bei der die Varianzen auf der Hauptdiagonale und die Kovarianzen auf den Elementen außerhalb der Hauptdiagonale verteilt sind.
KovarianzMatrixdarstellung
Die Varianz-Kovarianz-Matrix wird normalerweise ausgedrückt als
Obwohl es scheint, dass es das Symbol der Summation ist und keine Beziehung zur Varianz-Kovarianz-Matrix hat, repräsentiert dieser griechische Buchstabe perfekt den Inhalt dieser Matrix.
Um es zu verstehen, schauen wir uns zuerst seinen Ausdruck an:
Zu wissen, dass es da ist ich Spalten weisen die Auslassungspunkte darauf hin, dass die Spalten zwischen der zweiten und letzten Spalte weggelassen wurden. Ebenso zu wissen, dass es there nein Zeilen, die Auslassungspunkte zeigen an, dass die Zeilen zwischen der zweiten und der letzten Zeile weggelassen wurden.
In diesem Fall verwenden wir Sigma, um die Kovarianzen darzustellen, und Sigma quadriert für die Varianzen. Als Beispiel:
Welcher griechische Buchstabe kommt in allen Elementen der Matrix vor? Das Sigma.
Es ist also logisch, dass zur Definition der Varianz-Kovarianz-Matrix auch ein Sigma verwendet wird.
griechischer Brief
ist die Großbuchstaben von
Wenn wir uns also daran erinnern, dass die Varianz-Kovarianz-Matrix als Großbuchstabe von Sigma ausgedrückt wird, ist es einfacher, sich an ihre Definition zu erinnern.
Voraussetzungen für eine Varianz-Kovarianz-Matrix
Die Anforderungen an eine Varianz-Kovarianz-Matrix sind die folgenden:
- Quadratische Matrix: gleiche Anzahl von Zeilen (n) wie Spalten (m), dann ist n = m, und daher kann die Dimension dieser Matrix sowohl nxm als auch nxn ausgedrückt werden.
- In dem Hauptdiagonale es gibt Abweichungen:
- Abseits der Hauptdiagonale es gibt Kovarianzen:
App
Die Varianz-Kovarianz-Matrix ist in der Ökonometrie sehr beliebt, da sie unter anderem hauptsächlich bei der Matrixberechnung der Koeffizienten der linearen Regression mit Ordinary Least Squares verwendet wird.
Im Finanzbereich wird es verwendet, um ein allgemeines Bild der Volatilität von Finanzanlagen zu erhalten.
Mathematischer Ausdruck von Varianz und Kovarianz
Mathematik wird wie folgt ausgedrückt:
- Kovarianz des Elements n = 1 und m = 2
- Varianz des Elements n = 1 und m = 1
Sowohl Varianz als auch Kovarianz können korrigiert werden. Das heißt, der Nenner ist n-1 statt n. Dies liegt an den Freiheitsgraden und hängt davon ab, ob es sich um Populations- oder Stichprobenvarianzen und Kovarianzen handelt.