Der Darmois-Satz ist ein Satz, der es erlaubt, eine Statistik T für einen Parameter θ mit der Eigenschaft hinreichend zu finden.
In noch einfacheren Worten erlaubt es, den mathematischen Ausdruck, falls vorhanden, einer ausreichenden Statistik zu finden.
In Bezug auf das Factoring-Kriterium von Fisher-Neyman können wir eine Überlegung anstellen. Das Factoring-Kriterium von Fisher-Neyman dient sowohl dazu, zu überprüfen, ob eine Statistik die Eigenschaft ausreichend erfüllt, als auch um den mathematischen Ausdruck einer hinreichenden Statistik (sofern vorhanden) zu finden. Im Gegensatz dazu erlaubt das Theorem von Darmois nur, den mathematischen Ausdruck (sofern vorhanden) einer ausreichenden Statistik zu finden.
Nehmen wir an, während sich das Fisher-Neyman-Faktorisierungskriterium vorwärts (Suche) und rückwärts (Check) bewegt, bewegt sich das Darmois-Theorem nur vorwärts (Suche).
Formel des Darmois-Satzes
Theoretisch wird sie ausgedrückt, wenn eine einfache Zufallsstichprobe einer Zufallsvariablen X mit Dichtefunktion f (x; θ) mit θ ∈ gegeben ist. Wenn diese Funktion zur Exponentialfamilie gehört, kann sie also so ausgedrückt werden:
f (x; θ) = β (θ) × b (x) × e (a (x) × α (θ)
Dann ist die Statistik T = T (x1,…, xn) = Σ a (x)
Um Berechnungen zu erleichtern, wird normalerweise eine logarithmische Notation durchgeführt:
lnf (x; θ) = lnβ (θ) + lnb (x) + (a (x) × α (θ))
Natürlich ist es schwierig, diese ganze mathematische Schreibweise zu verstehen. Viele Unbekannte erscheinen, viele Buchstaben, viele Operatoren. Lass es uns mit umgangssprachlichen Wörtern neu definieren. Dazu beginnen wir mit der theoretischen Definition an einem Beispiel:
Angenommen, eine Zufallsstichprobe von 50 Kindern (einfache Zufallsstichprobe) wird gefragt, wie viel Geld sie pro Woche für Süßigkeiten ausgeben (Zufallsvariable X) bei einer gegebenen Dichtefunktion (siehe Dichtefunktion). Wenn diese Dichtefunktion also gilt, können wir sie wie folgt ausdrücken:
Wir werden feststellen, dass die ausreichende Statistik die Summe des Ausdrucks a (x) ist
Die Teile der Formel sind wie folgt definiert:
- lnβ (θ): Es ist eine Funktion, die nur vom Parameter abhängt (in unserem Fall vom Mittelwert)
- lnb (x): Es ist eine Funktion, die nur von der Zufallsvariablen X . abhängt
- a (x): Es ist eine Funktion, die nur von X abhängt und α (θ) multipliziert
- α (θ): Es ist eine Funktion, die nur vom Parameter abhängt (in unserem Fall vom Mittelwert)
Der Satz von Darmois in der Praxis
Obwohl wir alle die Möglichkeit und die Werkzeuge haben, um neue Statistiken zu entdecken, ist dies selten die Norm. Das heißt, Wirtschaftsprofessoren und Fachexperten forschen zu diesen Themen.
Persönlich ist es schwierig, jemanden zu finden, der sich dieser Art von Forschung widmet. In der Praxis ist es daher wichtig zu verstehen, woher diese Statistiken, die wir verwenden, stammen.
Um beispielsweise herauszufinden, dass der Mittelwert eine ausreichende Statistik ist, hat er wahrscheinlich dieses Verfahren verwendet.