Der Satz von Bayes wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen, wobei im Voraus Informationen über dieses Ereignis vorliegen.
Wir können die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A berechnen, auch wenn wir wissen, dass A eine bestimmte Eigenschaft erfüllt, die seine Wahrscheinlichkeit bestimmt. Der Satz von Bayes versteht die Wahrscheinlichkeit umgekehrt zum Gesamtwahrscheinlichkeitssatz. Der Gesamtwahrscheinlichkeitssatz schließt aus den Ergebnissen von Ereignissen A auf ein Ereignis B. Bayes berechnet seinerseits die Wahrscheinlichkeit von A bedingt durch B.
Der Satz von Bayes wurde vielfach in Frage gestellt. Was vor allem an seiner schlechten Anwendung lag. Da die Annahmen von disjunkten und erschöpfenden Ereignissen erfüllt sind, ist der Satz absolut gültig.
Bayes-Theorem-Formel
Um die von Bayes definierte Wahrscheinlichkeit für diese Art von Ereignis zu berechnen, benötigen wir eine Formel. Die Formel ist mathematisch definiert als:
Wobei B das Ereignis ist, über das wir frühere Informationen haben, und A (n) die verschiedenen bedingten Ereignisse sind. Im Zählerteil steht die bedingte Wahrscheinlichkeit und im unteren Teil die Gesamtwahrscheinlichkeit. Auf jeden Fall, obwohl die Formel etwas abstrakt erscheint, ist sie sehr einfach. Um dies zu demonstrieren, verwenden wir ein Beispiel, bei dem wir anstelle von A (1), A (2) und A (3) direkt A, B und C verwenden.
Beispiel für den Bayes-Satz
Ein Unternehmen hat eine Fabrik in den Vereinigten Staaten mit drei Maschinen A, B und C, die Behälter für Wasserflaschen herstellen. Maschine A produziert bekanntlich 40% der Gesamtmenge, Maschine B 30% und Maschine C 30%. Jede Maschine produziert auch bekanntermaßen fehlerhafte Verpackungen. So produziert Maschine A 2% der fehlerhaften Packungen ihrer Gesamtproduktion, Maschine B 3% und Maschine C 5%. Dabei stellen sich zwei Fragen:
P(A) = 0,40 P (D / A) = 0,02
P(B) = 0,30 P (D / B) = 0,03
P (C) = 0,30 P (D / C) = 0,05
1. Wenn ein Behälter von der Fabrik dieses Unternehmens in den USA hergestellt wurde, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er defekt ist?
Die Gesamtwahrscheinlichkeit wird berechnet. Denn wir berechnen aus den verschiedenen Ereignissen die Wahrscheinlichkeit, dass es defekt ist.
P (D) = (P (A) x P (D / A)) + (P (B) x P (D / B)) + (P (C) x P (D / C)) = (0, 4 x 0,02) + (0,3 x 0,03) + (0,3 x 0,05) = 0,032
In Prozent ausgedrückt, würden wir sagen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein von dieser Fabrik in den USA hergestellter Behälter defekt ist, bei 3,2 % liegt.
2. Um mit der vorherigen Frage fortzufahren: Wenn ein Container erworben wurde und er defekt ist, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er von Maschine A und von Maschine B und von Maschine C hergestellt wurde?
Hier wird der Satz von Bayes verwendet. Uns liegt eine Vorabinformation vor, dh wir wissen, dass die Verpackung defekt ist. Da wir wissen, dass es defekt ist, möchten wir natürlich wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit es von einer der Maschinen hergestellt wurde.
P (A / D) = (P (A) x P (D / A)) / P (D) = (0,40 x 0,02) / 0,032 = 0,25
P (B / D) = (P (B) x P (D / B)) / P (D) = (0,30 x 0,03) / 0,032 = 0,28
P (C / D) = (P (C) x P (D / C)) / P (D) = (0,30 x 0,05) / 0,032 = 0,47
Wenn man weiß, dass ein Behälter defekt ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass er von Maschine A hergestellt wurde, 25%, dass er von Maschine B hergestellt wurde, 28% und dass er von Maschine C produziert wurde 47%.
