Der Abstand zwischen zwei Punkten der Dimension R im Raum ist die Anwendung der Quadratwurzel auf den von diesen geordneten Punkten gebildeten Vektor.
Mit anderen Worten, der Abstand zwischen zwei Punkten im Raum ist der Modul des durch diese Punkte gebildeten Vektors.
Der Abstand zwischen zwei Punkten ist nichts anderes als der Modul des durch die gegebenen Punkte gebildeten Vektors. Nachdem der Modul des Vektors berechnet wurde, haben wir bereits den Abstand zwischen den beiden Punkten.
Formel
Dazu folgende zwei Punkte:
Dann ist der Abstand zwischen diesen beiden Punkten das Modul des Vektors, den sie bilden:
Daher ist der Modul dieses Vektors der Abstand zwischen diesen beiden Punkten:
Die Länge der Wurzel hängt von der Anzahl der Dimensionen ab, die die Punkte haben. Wenn es sich nur um zweidimensionale Punkte handelt, gibt es nur zwei Terme innerhalb der Wurzel. Auf der anderen Seite, wenn die Punkte 6 Dimensionen haben, dann gibt es 6 Elemente innerhalb der Wurzel.
Man sagt, dass die Punkte geordnet werden müssen, weil bei Vektoren wie bei Matrizen die Reihenfolge der Faktoren eine Rolle spielt und für die korrekte Problemlösung entscheidend ist. Ein Vektor, der von Punkt B zu Punkt C geht, ist nicht identisch mit einem anderen Vektor, der von Punkt C zu Punkt B geht.
Schematisch:
Was die beiden vorherigen Vektoren gemeinsam haben, ist der Abstand: Sowohl der Vektor BC als auch der Vektor CB behalten den gleichen Abstand zwischen ihren Punkten. Mit anderen Worten, sie haben das gleiche Modul.
Dies liegt daran, dass die Differenz der beiden Vektoren nur das Vorzeichen ihrer Koordinaten ist. Da das Modul das Quadrat der Koordinaten des Vektors bildet, erzeugt es denselben Effekt, als ob wir den Absolutwert anwenden würden. Tatsächlich ist dies der Grund, warum wir den Modul eines Vektors mit den beiden parallelen Geraden bezeichnen:
Dann wird die Wurzel angewendet, um den Effekt des Quadrats der Komponenten zu entfernen und zu den gleichen Einheiten zurückzukehren.
Distanz in der analytischen Geometrie und in der Realität
Wenn wir Distanzen in der analytischen Geometrie berechnen müssen, können wir uns mit realen Beispielen helfen. Wenn wir beispielsweise wie in diesem Fall aufgefordert werden, den Abstand zwischen zwei Punkten zu berechnen, können wir uns als Startpunkt (Punkt B) und ein Objekt als Endpunkt (Punkt C) vorstellen. Wir können diesen Abstand also messen, indem wir den absoluten Wert zwischen einem Punkt und dem anderen subtrahieren. Mit anderen technischeren Worten, berechnen Sie den Modul.
Wir werden sehen, dass von unserer Position zum Objekt und vom Objekt zu uns die gleiche Entfernung besteht. Außerdem ist dieser Abstand immer positiv, unabhängig davon, ob er 0 oder größer ist. Es kann sein, dass wir das Objekt halten und daher die Entfernung 0 ist, oder dass das Objektiv weit entfernt ist, also eine positive Entfernung.
Beispiel für den Abstand zwischen zwei Punkten
Berechnen Sie den Abstand zwischen den folgenden Punkten:
