Das Monty-Hall-Problem ist ein probabilistisches Problem, das von der amerikanischen Fernsehsendung Let’s Make a Deal inspiriert wurde.
Der Name ist inspiriert von der Person, die das Programm präsentierte: Monty Hall.
Diese Sendung wurde zwischen 1963 und 1986 ausgestrahlt.
Erklärung des Monty-Hall-Problems
In der Monty-Hall-Aufgabe werden einem Teilnehmer drei Türen mit der Möglichkeit präsentiert, eine davon auszuwählen. Wenn Sie die Wahl haben, können Sie den hinter der Tür versteckten Preis gewinnen. Deshalb gibt es hinter jeder Tür eine Belohnung, in einer Tür ein Fahrzeug und in den anderen beiden eine Ziege.
Nachdem der Teilnehmer die Tür gewählt hat, öffnet der Moderator oder Präsentator eine der beiden anderen verbleibenden Türen. Da der Moderator weiß, was sich hinter jeder Tür befindet, öffnet er eine, in der eine Ziege versteckt ist, und zeigt sie dem Teilnehmer.
Anschließend haben Sie zwei Möglichkeiten: 1) die Tür Ihrer Wahl behalten oder 2) Ihre ursprüngliche Wahl ändern.
Schließlich stellt sich die Frage, ist es für den Teilnehmer besser, seine Wahl zu ändern oder beizubehalten?
Lösung des Monty Hall-Problems
Die einfachste Lösung des Monty-Hall-Problems ist intuitiv. Die Wahrscheinlichkeit, die Tür mit dem Fahrzeug als Preis zu wählen, beträgt 1 von 3 (⅓). Inzwischen sind die Chancen zu verlieren ⅔.
Das heißt, wenn Sie Ihre ursprüngliche Wahl beibehalten, behalten Sie ⅓ Erfolgswahrscheinlichkeit. Wenn Sie hingegen Ihre Wahl ändern, erhöht sich die Wahrscheinlichkeit, das Fahrzeug zu gewinnen, auf ⅔.
Daher zeigt das Monty-Hall-Problem, dass der Teilnehmer seine Wahl ändern muss, um seine Chancen bei der Wahl des Autos zu maximieren.
Diese Situation ist im folgenden Baumdiagramm zu sehen. Die Gesamtwahrscheinlichkeit wird durch Multiplizieren der Wahrscheinlichkeit jedes Segments ermittelt. Ebenso werden am Ende die Wahrscheinlichkeiten des Zuschlagens oder Nicht-Treffens durch das Wechseln von Türen hinzugefügt. Wenn der Preis beispielsweise an Tür 1 liegt und wir einen anderen (2 oder 3) auswählen, wird er in beiden Fällen durch Ändern der Option gewonnen. Wenn Sie also beim ersten Mal einen Fehler machen (was die wahrscheinlichste Option ist), erhöhen Sie Ihre Gewinnchancen, indem Sie Ihre Wahl ändern. Wenn Sie sich dafür entscheiden, Ihre ursprüngliche Option beizubehalten, sind die Gewinnchancen die gleichen wie am Anfang: ⅓.
Es gibt auch verfeinerte mathematische und statistische Methoden, die zeigen, dass dieses Ergebnis gilt. Dies ist selbst dann der Fall, wenn das Experiment durch Erhöhen der Anzahl der Tore wiederholt wird.
Warum können wir denken, dass die Beibehaltung der ersten Option die richtige Antwort ist?
Einige der Gründe, warum manche Menschen nicht die beste Lösung wählen, sind:
- Sie verhindern, dass die Ereignisse nicht unabhängig sind: Dies geschieht aufgrund eines Fehlers bei der Interpretation des Ansatzes. In diesem Fall wird ignoriert, dass die Aktion des Moderators zum Öffnen einer Tür von der anfänglichen Wahl des Teilnehmers abhängt.
- Falsche Zuordnung von Wahrscheinlichkeiten: Die Aktion des Moderators ändert die Anfangsquote. Nachdem die Tür geöffnet wurde, hat diese Tür eine Chance von 0, das Fahrzeug einzudämmen. Daher hat der Teilnehmer nun eine 50%ige Chance, das Auto oder die Ziege an den verbleibenden Türen zu wählen.