Das Paradox von Condorcet zeigt, dass kollektive Wahlpräferenzen die Transitivitätsannahme nicht erfüllen, aber individuelle Präferenzen tun dies.
Condorcets Paradoxon ist nach seinem Autor Nicolás Condorcet (1943-1974) benannt. Condorcet, besser bekannt als Marquis de Condorcet, widmete sich unter anderem dem Studium von Wahrscheinlichkeiten und Methoden der Wahl.
So erkannte er in einem seiner um 1785 veröffentlichten Aufsätze die Möglichkeit, dass sich die Kollektive widersprachen. Mit anderen Worten, unter Berücksichtigung der individuellen Wahlpräferenzen waren die Absichten klar, aber bei einer kollektiven Abstimmung gab es ein Paradox.
Die Annahme der Transitivität
Die Transitivitätsannahme besagt Folgendes:
Bei drei Alternativen (A, B und C) sagen wir, dass die Transitivitätsannahme erfüllt ist, wenn die folgenden Ergebnisse gegeben sind:
- A ist besser als B
- B ist besser als C
Dann können wir nach der Transitivitätsannahme sagen, dass A besser ist als C.
Wenn diese Präferenzordnung nicht erfüllt ist, können wir nicht auf Transitivität hinweisen. So kann es vorkommen, dass A gegenüber B und B gegenüber C bevorzugt wird, aber nicht A gegenüber C. Zum Beispiel:
- A = Donuts
- B = Hamburger
- C = Schokolade
Ich esse lieber Donuts (A) als Hamburger (B). Außerdem esse ich lieber Hamburger (B) als Schokolade (C). Aber wenn Sie mir die Wahl zwischen Donut (A) und Schokolade (C) lassen, bevorzuge ich Schokolade (C).
Es ist ein scheinbar paradoxer Fall, aber es könnte passieren.
Beispiel für Condorcets Paradox
Sehen wir uns den Fall einer Abstimmung an, bei der es drei Optionen gibt: A, B und C. Die Optionen sind von links nach rechts in der Reihenfolge ihrer Präferenz geordnet. So dass:
- Jose = A> B> C
- Paula = C> A> B
- Maria = B> C> A
| Name | Option 1 | Option 2 | Option 3 |
| Joseph | ZU | B | C |
| Paula | C | ZU | B |
| Maria | B | C | ZU |
Mit dieser Tabelle, die die Optionen zwei mal zwei vergleicht, konnten wir die folgenden Schlussfolgerungen ziehen:
- A gegen B: Wenn wir A mit B vergleichen, sehen wir, dass A zweimal vor B liegt (José und Paula) und B nur einmal gegenüber A (Maria). Daher würden wir sagen, dass Option A gegenüber B bevorzugt wird.
- A gegen C: Da A gegenüber B bevorzugt wird, werden wir prüfen, was passiert, wenn wir es mit C vergleichen. C liegt zweimal vor A (Paula und María) und A nur einmal im Vergleich zu C (José). Daher wäre C die gewinnende Option.
Jetzt ändern wir die Abstimmungsreihenfolge:
- A gegen C: Wie wir bereits gesehen haben, ist C.
- C gegen B: Da C gegenüber A bevorzugt wird, werden wir prüfen, was passiert, wenn wir es mit B vergleichen. B liegt zweimal vor C (José und María) und B nur einmal im Vergleich zu C (Paula). Daher wäre B der Gewinner.
Wir werden die Reihenfolge noch einmal ändern:
- C gegen B: Wie wir bereits gesehen haben, ist B.
- A gegen B: Da B gegenüber C bevorzugt wird, prüfen wir, was passiert, wenn wir es mit A vergleichen. Wir sehen, dass A zweimal vor B liegt (José und Paula) und B nur einmal im Vergleich zu A (María). Wir würden also sagen, dass Option A die Gewinnoption ist.
In diesem Beispiel konnten wir verifizieren, dass der Gewinner je nach Reihenfolge der Abstimmung zu zweit A, B oder C sein kann. Dies ist das sogenannte Condorcet-Paradoxon. Einzelpersonen sind sich ihrer Präferenzen sehr klar, aber insgesamt sind die Ergebnisse verwirrend.