Eigenschaften von Erwartungswerten

Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen ist das Konzept analog zur mathematischen Algebra, das das arithmetische Mittel der Menge von Beobachtungen dieser Variablen betrachtet.

Mit anderen Worten, der erwartete Wert einer Zufallsvariablen ist der Wert, der am häufigsten während der mehrfachen Wiederholung eines Experiments auftritt.

Eigenschaften von Erwartungswerten einer Zufallsvariablen

Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen hat drei Eigenschaften, die wir im Folgenden entwickeln:

Eigenschaft 1

Für jede Konstante g wird der erwartete Wert dieser Konstante als E (g) ausgedrückt und ist dieselbe Konstante g. Mathematisch:

E (g) = g

Da g eine Konstante ist, also von keiner Variablen abhängt, bleibt sein Wert gleich.

Beispiel

Was ist der Erwartungswert von 1? Mit anderen Worten, welchen Wert weisen wir der Zahl 1 zu?

E (1) =?

Genau, wir weisen der Zahl 1 den Wert 1 zu und ihr Wert ändert sich nicht, egal wie viel Jahre vergehen oder Naturkatastrophen auftreten. Wir haben es also mit einer konstanten Variablen zu tun und daher:

E (1) = 1 oder E (g) = g

Sie können andere Nummern ausprobieren.

Eigenschaft 2

Für jede Konstante h und k ist der Erwartungswert der Geraden h · X + k gleich der Konstanten h multipliziert mit dem Erwartungswert der Zufallsvariablen X plus der Konstanten k. Mathematisch:

E (h X + k) = h E (X) + k

Schau genau hin, erinnert dich das nicht an eine sehr berühmte Hetero? Genau, die Regressionsgerade.

Wenn wir ersetzen:

E (hX + k) = Y

E (X) = X

k = B₀

h = B₁

Haben:

Y = B₀ + B₁X

Wenn die Koeffizienten B geschätzt werden₀ , B₁ , das heißt B₀ , B₁ , bleiben diese für die gesamte Stichprobe gleich. Wir wenden also Eigenschaft 1 an:

E (B₀) = B₀

E (B₁) = B₁

Hier finden wir auch die Eigenschaft der Unverzerrtheit, d. h. der Erwartungswert des Schätzers ist gleich seinem Populationswert.

Um zu E (h · X + k) = h · E (X) + k zurückzukehren, ist es wichtig zu bedenken, dass Y E (h · X + k) ist, wenn man aus den Regressionsgeraden Schlüsse zieht. Mit anderen Worten, wenn X um eins zunimmt, erhöht sich Y um Hälfte h Einheiten, da Y der Erwartungswert der Geraden h · X + k ist.

Eigentum 3

Wenn H ein Vektor von Konstanten und X ein Vektor von Zufallsvariablen ist, kann der Erwartungswert als Summe der Erwartungswerte ausgedrückt werden.

H = (h₁ , ha_2, , …, ha_nein)

X = (X₁ , X_2, ,…, X_nein)

Hallo₁X₁ + h₂X₂ +… + H_neinX_nein) = h₁·EHEMALIGE₁) + h₂·EHEMALIGE₂) +… + H_nein·EHEMALIGE_nein)

In Summen ausgedrückt:

Diese Eigenschaft ist sehr nützlich für Ableitungen im Bereich der mathematischen Statistik.