Eine gemeinsame Verteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Schnittmenge der Realisierungen von zwei oder mehr beliebigen Zufallsvariablen.
Mit anderen Worten, eine gemeinsame Verteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung, die zwei oder mehr Zufallsvariablen bilden, wenn ihre Realisierungen gleichzeitig auftreten.
Vertretung der gemeinsamen Verteilung
Wenn nur zwei Zufallsvariablen beteiligt sind, spricht man von einer bivariaten Verteilung, da es zwei Zufallsvariablen gibt. Im Fall von mehr Variablen würde es als multivariat bezeichnet.
Der lange Name für gemeinsame Verteilung ist gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung. Der Name wird abgekürzt, da bereits bekannt ist, dass es sich bei diesen Verteilungen um Wahrscheinlichkeiten handelt. Im Englischen heißt es „Joint Distribution“.
Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass es diskrete Zufallsvariablen und kontinuierliche Zufallsvariablen gibt, wird dieser Unterschied auch für gemeinsame Verteilungen vorhanden sein.
Gemeinsame Verteilung für diskrete Zufallsvariablen
Zwei diskrete Zufallsvariablen seien X und W und die Realisierungen von X und W seien x und w. Dann hat (X, W) eine gemeinsame Verteilung aus der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von (X, W).
Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (fdpc)
Der fdpc gibt uns die Wahrscheinlichkeit an, dass Realisierung x und Realisierung w gleichzeitig auftreten. Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu kennen, müssen wir die Wahrscheinlichkeit von x bedingt durch w mit der Wahrscheinlichkeit, dass x auftritt, multiplizieren. Mit anderen Worten, die Wahrscheinlichkeit, dass w auftritt, gegeben x und die Wahrscheinlichkeit, dass x auftritt. Auf diese Weise erhalten wir die gemeinsame Wahrscheinlichkeit von x und w.
Da wir zwei Variablen haben, können wir das pdf aus Sicht der Zufallsvariablen X oder aus Sicht der Zufallsvariablen W ausdrücken.
Das erfüllen:
Diese Einschränkung besteht darin, dass die Summe der gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten 1 ergeben muss, da es sich um Wahrscheinlichkeiten handelt und diese immer zwischen 0 und 1 liegen.
Gemeinsame Verteilung für stetige Zufallsvariablen
Seien X und W zwei stetige Zufallsvariablen und die Realisierungen von X und W seien x und w. Dann hat (X, W) eine gemeinsame Verteilung aus der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von (X, W).
Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (fdpc)
Die Logik für den kontinuierlichen Fall ist dieselbe wie für den diskreten Fall.
Diese Funktionen werden marginale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen genannt. Der erste für die Zufallsvariable X und der zweite für die Zufallsvariable W.
Das erfüllen
Diese Einschränkung besteht darin, dass die Summe der gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten 1 ergeben muss, da es sich um Wahrscheinlichkeiten handelt und diese immer zwischen 0 und 1 liegen.
App
In der Wirtschaftswissenschaft ist es sehr üblich, dass Ereignisse mehr als eine Zufallsvariable umfassen, daher besteht die Notwendigkeit zu analysieren, wie diese Variablen in derselben Verteilung verteilt sind.
