Unter Kombinatorik ohne Wiederholung versteht man die verschiedenen Mengen, die mit «n» Elementen gebildet werden können, ausgewählt aus x in x. Jeder Satz muss sich in mindestens einem seiner Elemente vom vorherigen unterscheiden (die Reihenfolge spielt keine Rolle) und diese können nicht wiederholt werden.
Kombinatorik ohne Wiederholung ist in Statistik und Mathematik gebräuchlich. Dies passt zu vielen Situationen des wirklichen Lebens und seine Anwendung ist recht einfach.
Nehmen wir zum Beispiel einen Studenten, der eine 4-Fragen-Prüfung hat. Von den 4 Fragen muss er drei auswählen: Wie viele verschiedene Kombinationen könnte der Schüler machen? Wenn wir ein wenig argumentieren, würden wir sehen (ohne die Formel tatsächlich anzuwenden), dass der Schüler wählen könnte, wie er die 3 Fragen auf vier verschiedene Arten beantwortet.
- Set / Option 1: Beantworten Sie die Fragen 1,2,3.
- Set / Option 2: Beantworten Sie die Fragen 1,2,4.
- Set / Option 3: Beantworten Sie die Fragen 1,3,4.
- Satz / Option 4: Beantworten Sie die Fragen 2,3,4.
Wie wir sehen, kann der Schüler 4 Mengen (n) aus 3 Elementen (x) bilden. Daher sagt uns die Kombinatorik ohne Wiederholung, wie man eine endliche Menge von Daten / Beobachtungen in Gruppen einer bestimmten Menge bildet oder gruppiert, ohne dass eines der Elemente in jeder Gruppe wiederholt werden kann. Dies ist der Hauptunterschied zwischen der Kombinatorik mit Wiederholung (Elemente in jeder Gruppe können wiederholt werden) und der Kombinatorik ohne Wiederholung (kein Element kann in jeder Gruppe wiederholt werden)
Um in diesem Beispiel hervorzuheben, dass es sich um Kombinatorik ohne Wiederholung handelt, da der Schüler keine der Fragen mehr als einmal stellen kann. Daher können die Elemente der Mengen nicht wiederholt werden.
Da im vorherigen Fall die Gesamtzahl der Elemente klein und die Menge der Menge hoch ist, ist die Anzahl der Optionen gering und kann ohne Anwendung der Formel leicht abgeleitet werden. Bei direkter Anwendung der Formel wäre der Zähler 24 (4 * 3 * 2 * 1) und der Nenner wäre 6 (3 * 2 * 1 * 1), womit wir auf die gleiche Weise zur Berechnung gelangen würden ohne darüber nachzudenken, wie wir diese vier Fragen in Dreiergruppen zusammenfassen könnten.
Wie berechnet man Kombinatorik ohne Wiederholung?
Die Formel der Kombinatorik ohne Wiederholung lautet:
Wo:
- nein = Gesamtbeobachtungen
- x = Anzahl der ausgewählten Artikel
Beispiel von kombinatorisch ohne Wiederholung
Stellen wir uns einen Militärzug von 12 Soldaten vor. Der Armeehauptmann möchte Gruppen von 2 Soldaten bilden, um an verschiedenen Stellen hinter die feindlichen Linien einzudringen, wie viele verschiedene Gruppen könnte er bilden?
Um das Problem zu lösen, müssen wir zunächst die Gesamtzahl der Elemente bestimmen. In diesem Fall sind es insgesamt 12 Soldaten, daher haben wir bereits unsere n. Da der Kapitän 2er-Gruppen möchte, wissen wir bereits, was unser x ist. Wenn wir dies wissen, könnten wir in der Formel ersetzen und haben die Anzahl der Gruppenkombinationen von 2.
- nein = 12
- x = 2
Beim Ersetzen:
Wendet man die Fakultät für den Nenner an, ergibt sich 12 * 11 * 10 *… * 1 = 479.001.600. Für den Nenner haben wir 2 * 1 * 10 * 9 * 8… * 1 = 7.257.600. Unsere Kombinatorische Zahl ist = 479.001.600 / 7.257.600 = 66.
Wie wir sehen, kann der Kapitän aus den 12, die er hat, 66 verschiedene Soldatenpaare bilden.
