Der größte gemeinsame Teiler (GCF) und das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) sind zwei Werte, die sich aus den Teilern von zwei oder mehr Zahlen berechnen lassen.
Obwohl beide aus den gleichen Informationen berechnet werden, werden der GCF und der LCM sehr unterschiedlich interpretiert.
Zum einen ist der GCF die größte Zahl, durch die zwei oder mehr Zahlen geteilt werden können. Dies ohne Rückstände zu hinterlassen.
Stattdessen ist die LCM die kleinste Zahl, die die Bedingung erfüllt, ein Vielfaches aller Elemente einer Zahlenmenge zu sein.
Es ist zu beachten, dass eine Zahl ein Vielfaches einer anderen ist, wenn sie genau n-mal enthalten ist. Das heißt, eine Zahl b ist ein Vielfaches von zu wann b=zu*so, sein so eine ganze Zahl.
Um den Unterschied besser zu verstehen, können wir ein Beispiel mit den folgenden Zahlen verwenden: 450, 765 und 135.
Zuerst zerlegen wir jede Zahl in Teiler. Dies sind die Zahlen, in denen es genau n-mal in einem anderen enthalten ist.
450= (3^2)*(5^2)*2
765= (3^2)*5*17
135= (3^3)*5
Um den GCF zu berechnen, würden wir die gemeinsamen Teiler zu ihrer niedrigsten Potenz nehmen:
GCF = (3 2) * 5 = 45
Ebenso würden wir für den lcm alle Teiler nehmen, auch diejenigen, die sich nicht wiederholen, und sie auf ihre maximale Leistung bringen:
lcm = (3 3) * (5 2) * 2 * 17 = 22.950
Beziehung zwischen GCF und LCM
Wenn Sie zwei Zahlen haben, gilt die folgende Formel:
Das heißt für 4.368 und 308
4.368= (2^4)*13*7*3
308= (2^2)*11*7
Der lcm wäre also: (2 2) * 7 = 28
Daher könnte der GCF in der Formel gelöst werden:
GCD = 4,368 * 308/28 = 48,048
Einige Eigenschaften
Einige zu berücksichtigende Eigenschaften sind auch:
- Wenn wir zwei Primzahlen haben (die nur durch sich selbst und eine geteilt werden können, um eine ganze Zahl zu erhalten), ist die LCM die Summe ihrer Multiplikation. Ebenso ist sein größter gemeinsamer Faktor 1. Wenn wir beispielsweise 11 und 103 haben, ist sein LCM 1133 und sein GCF 1.
- Der größte gemeinsame Teiler von zwei oder mehr Zahlen ist ein Teiler des kleinsten gemeinsamen Vielfachen dieser Zahlen. Dies liegt daran, dass die Berechnung auf den gleichen Faktoren basiert. Wenn wir zum Beispiel 132, 336 und 1.314 . haben
132= (2^2)*3*11
336= (2^4)*3*7
1.314= (3^2)*73*2
Dann,
GCF = 3 * 2 = 6
lcm = (2 4) * (3 2) * 7 * 11 * 73 = 809.424
Und wir verifizieren, dass der LCM ein Vielfaches des GCF ist: 809.424 / 6 = 134.904