Die Exponentialfunktion ist die Grundlage der kontinuierlichen Verzinsung, die das Ergebnis einer unendlichen Erhöhung (wenn p gegen Unendlich geht) die Häufigkeit der interessierenden Berechnung bei einer zusammengesetzten Verzinsung ergibt.
Mit anderen Worten, die Exponentialfunktion ist eine zusammengesetzte Verzinsung, bei der die Zeiträume zwischen den Zinsberechnungen infinitesimal (sehr klein) sind.
Die Formel für die Exponentialfunktion lautet:
Kontinuierliche Compoundierung kann ausgedrückt werden als
Vernünftige Ähnlichkeiten zwischen kontinuierlicher Großschreibung und der Exponentialfunktion, oder?
Wir definieren die Variablen der kontinuierlichen Kapitalisierung:
- Ct + 1: Kapital zum Zeitpunkt t + 1 (später).
- Ct: Kapital zum Zeitpunkt t (aktuell).
- icht: Zinssatz zum Zeitpunkt t.
- p: Häufigkeit der Aufzinsung oder Periodizität.
- t: Zeit.
Anwendungen
Im Finanzwesen finden wir die Exponentialfunktion häufig in der Formel für die kontinuierliche Kapitalisierung zukünftiger Einkommen und in einigen ökonometrischen Regressionen.
In der Ökonomie ist es nicht so beliebt, weil die meisten mikro- und makroökonomischen Modelle von abnehmenden Grenzerträgen ihrer Produktionsfaktoren ausgehen. Folglich gehen sie davon aus, dass die Faktoren logarithmischen Renditen folgen und daher Renditen entgegen der Exponentialfunktion.
Beispiel für eine Exponentialfunktion
Wir gehen davon aus, dass wir ein amerikanischer Investor sind, der in Pico Bolívar, Venezuela, eine Skipiste bauen möchte. Die Anfangsinvestition beträgt 100 Millionen US-Dollar bei einem jährlichen Zinssatz von 100 %. Dieser Anleger verfügt über ausreichende Verhandlungsmacht, um die Periodizität der Berechnung der Zinsen auf seine Anlage zu bestimmen.
Welche Alternative wird der amerikanische Investor bevorzugen?
Um die Frage zu beantworten, müssen wir das Kapital rechtzeitig berechnen t + 1 (Ct + 1), die der Investor erhält.
Verfügbare Informationen:
Ct: 100 Mio. $
icht: 100%
t: 1 (jährlich)
Ct + 1: ?
| Alternative | ZU | B | C | D | UND | F |
| Periodizität | 1 | 2 | 50 | 100.000 | 10.000.000 | 1.000.000.000 |
Wir setzen die Informationen, die wir haben, in die beiden Formeln ein (Funktion exp. und kontinuierliche Großschreibung)
Wir behandeln die Daten unter Vermeidung des MM.
Wir teilen (Ct + 1) pro 100 in der Exponentialfunktion, um den Kapitaleffekt zu eliminieren. Auf diese Weise verschieben wir das Komma um zwei Stellen nach vorne. Folglich ist dieser Effekt in den folgenden Ergebnisspalten sichtbar.
Ergebnisse:
| Formel | Kontinuierliches Mischen | Exponentialfunktion |
| Periodizität (p) oder (n) | Ct + 1 | Ct + 1/100 |
| 1 | 200 | 2 |
| 2 | 225 | 2,25 |
| 50 | 269,1588029 | 2,691588029 |
| 100.000 | 271,8268237 | 2,718268237 |
| 10.000.000 | 271,8281694 | 2,718281694 |
| 1.000.000.000 | 271,8282031 | 2,718282031 |
Wenn n oder p gegen unendlich tendieren, in diesem Fall ab 10.000.000, können wir sehen, dass die Werte bei einer bestimmten Zahl konvergieren. Für die kontinuierliche Compoundierung beträgt sie 271.8281 und für die Exponentialfunktion 2.718281. Die beiden Reihen konvergieren auf und.
Reaktion auf Übung gelöst
Welche Alternative wird der amerikanische Investor also wählen, wenn aus einer Reihe von Periodizitäten das Kapital bei t + 1 (Ct + 1) steht bei einem bestimmten Wert?
- Behandelt dieser Investor Kapital als diskrete Variable, so wird er Alternative D wählen. Da aus Alternative C Kapital bei t + 1 (Ct + 1) konvergiert auf 271 Mio. USD.
- Wenn dieser Anleger Kapital als kontinuierliche Variable behandelt, wird er die Alternative mit mehr Periodizitäten wählen. In diesem Fall Alternative F. Auch wenn sie auf einen Wert konvergiert, berücksichtigt der Anleger alle Dezimalstellen.
Diese Konvergenz impliziert, dass Kapital bei t + 1 (Ct + 1), berechnet mit der kontinuierlichen Verzinsungsformel oder der Exponentialfunktion, folgt abnehmenden Grenzerträgen. Mit anderen Worten, (Ct + 1) kann als logarithmische Funktion ausgedrückt werden.
Schematisch:
- Periodizität = Exponentialfunktion.
- Kapital zu t + 1 (Ct + 1) = logarithmische Funktion.
Grafische Darstellung
In der Grafik sieht man, wie die unendlich stetige Exponentialfunktion viel schneller wächst als die begrenzte stetige Großschreibung. Wenn wir von einer kontinuierlichen Kapitalisierung sprechen, sprechen wir von einer Art zusammengesetzter Kapitalisierung, jedoch mit größerer Periodizität, da es in der Praxis unmöglich ist, Zinsen unendlich klein zu kapitalisieren. Ich meine, wir können nicht jede Sekunde nutzen.