Die Mengenlehre ist ein Zweig der Mathematik (und Logik), der sich der Untersuchung der Eigenschaften von Mengen und der Operationen, die zwischen ihnen durchgeführt werden können, widmet.
Das heißt, die Mengenlehre ist ein Studiengebiet, das sich auf Mengen konzentriert. Daher ist es dafür verantwortlich, sowohl die Attribute, die sie besitzen, als auch die Beziehungen, die zwischen ihnen hergestellt werden können, zu analysieren. Das heißt, seine Vereinigung, Schnittmenge, Ergänzung oder anderes.
Wir müssen uns daran erinnern, dass eine Menge eine Gruppierung von Elementen ist, seien es Zahlen, Buchstaben, Wörter, Funktionen, Symbole, geometrische Figuren oder andere.
Um eine Menge zu bestimmen, wird in der Regel das gemeinsame Merkmal ihrer Elemente definiert. Zum Beispiel eine Menge A mit ganzen Zahlen, positiven und geraden Zahlen kleiner als 20.
A = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18)
Geschichte der Mengenlehre
Die Geschichte der Mengenlehre geht auf das Werk von Georg Cantor zurück, einem deutschen Mathematiker russischer Herkunft, der als Vater dieser Disziplin gilt.
Unter den Themen, die Cantor untersuchte, ragen beispielsweise die unendlichen Mengen und die numerischen Mengen heraus.
Cantors erste Arbeiten zur Mengenlehre stammen aus dem Jahr 1874. Erwähnenswert ist zudem, dass er einen häufigen Gedankenaustausch mit dem Mathematiker Richard Dedekind hatte, der zur Erforschung der natürlichen Zahlen beitrug.
Numerische Sätze
Numerische Mengen sind die verschiedenen Gruppierungen, in denen Zahlen nach ihren unterschiedlichen Eigenschaften klassifiziert werden. Es ist eine abstrakte Konstruktion, die eine wichtige Anwendung in der Mathematik hat.
Numerische Mengen sind komplex, imaginär, reell, irrational, rational, ganzzahlig und natürlich und können im folgenden Venn-Diagramm veranschaulicht werden:
Komplexe ZahlenImaginäre ZahlenReale NummernIrrationale ZahlenRationale ZahlenGanzzahlige ZahlenNatürliche Zahlen
Algebra einstellen
Die Algebra der Mengen umfasst die Beziehungen, die zwischen ihnen hergestellt werden können.
So fallen die folgenden Operationen auf:
- Vereinigung von Sätzen: Die Vereinigung von zwei oder mehr Mengen enthält jedes Element, das in mindestens einer von ihnen enthalten ist.
- Schnittmenge der Sätze: Die Schnittmenge von zwei oder mehr Mengen umfasst alle Elemente, die diese Mengen teilen oder gemeinsam haben.
- Differenz einstellen: Die Differenz eines Satzes zu einem anderen ist gleich den Elementen des ersten Satzes minus den Elementen des zweiten.
- Ergänzungssets: Das Komplement einer Menge umfasst alle Elemente, die in dieser Menge nicht enthalten sind (aber zu einer anderen Referenzmenge gehören).
- Symmetrischer Unterschied: Die symmetrische Differenz zweier Mengen umfasst alle Elemente, die sich in dem einen oder anderen befinden, aber nicht in beiden gleichzeitig.
- Kartesisches Produkt: Es ist eine Operation, die zu einem neuen Satz führt. Es enthält als Elemente die geordneten Paare oder Tupel (geordnete Reihen) der Elemente, die zu zwei oder mehr Mengen gehören. Sie sind geordnete Paare, wenn es sich um zwei Sätze handelt, und Tupel, wenn es sich um mehr als zwei Sätze handelt.