Ein unverzerrter Schätzer ist einer, dessen mathematischer Erwartungswert mit dem Wert des zu schätzenden Parameters übereinstimmt. Stimmen sie nicht überein, spricht man von einem Bias des Schätzers.
Der Grund für die Suche nach einem unverzerrten Schätzer besteht darin, dass der Parameter, den wir schätzen möchten, gut geschätzt ist. Mit anderen Worten, wenn wir die durchschnittlichen Tore pro Spiel eines bestimmten Fußballspielers schätzen wollen, müssen wir eine Formel verwenden, die uns einen Wert liefert, der dem tatsächlichen Wert möglichst nahe kommt.
Falls die Erwartung des Schätzers nicht mit dem wahren Wert des Parameters übereinstimmt, spricht man von einem Bias des Schätzers. Der Bias wird als Differenz zwischen dem Erwartungswert des Schätzers und dem wahren Wert gemessen. Mathematisch lässt es sich wie folgt festhalten:
Aus der obigen Formel ist der erste und letzte Teil klar. Das heißt, die Erwartung des Schätzers ist gleich dem wahren Wert des Parameters. Wenn diese Gleichheit gilt, ist der Schätzer unverzerrt. Der mathematisch abstraktere Mittelteil wird im nächsten Absatz erläutert.
Der Mittelwert aller Schätzungen, die der Schätzer für jede unterschiedliche Stichprobe vornehmen kann, ist gleich dem Parameter. Wenn wir beispielsweise 30 verschiedene Stichproben haben, ist es normal, dass der Schätzer in jeder Stichprobe (wenn auch nur geringfügig) unterschiedliche Werte bietet. Wenn wir den Mittelwert der 30 Werte des Schätzers in den 30 verschiedenen Stichproben nehmen, sollte der Schätzer einen Wert zurückgeben, der dem wahren Wert des Parameters entspricht.
PunktschätzungDer Bias eines Schätzers
Es kann nicht immer ein unverzerrter Schätzer gefunden werden, um einen bestimmten Parameter zu berechnen. Daher kann unser Schätzer verzerrt sein. Dass ein Schätzer einen Bias hat, bedeutet nicht, dass er nicht gültig ist. Es bedeutet einfach, dass es statistisch nicht so gut passt, wie wir es gerne hätten.
Das heißt, auch wenn es nicht so gut passt, wie wir es gerne hätten, bleibt uns manchmal keine andere Wahl, als einen verzerrten Schätzer zu verwenden. Daher ist es von entscheidender Bedeutung, dass wir die Größe dieser Verzerrung kennen. Wenn wir davon wissen, können wir diese Informationen in den Schlussfolgerungen unserer Untersuchung verwenden. Mathematisch ist der Bias wie folgt definiert:
In der obigen Formel ist der Bias ein Wert ungleich Null. Wenn es null wäre, wäre der Schätzer unverzerrt.
Beispiel für einen unverzerrten Schätzer
Ein Beispiel für einen unverzerrten Schätzer findet sich im Mittelwertschätzer. Dieser Schätzer wird in der Statistik als Stichprobenmittelwert bezeichnet. Wenn wir die eingangs beschriebene mathematische Formel verwenden, schließen wir, dass der Stichprobenmittelwert ein unverzerrter Schätzer ist. Vor dem Betrieb müssen wir folgende Informationen berücksichtigen:
Wir bezeichnen X mit einem Balken über dem Stichprobenmittelwert.
Die Formel für den Stichprobenmittelwert ist die Summe der n Werte, die wir durch die Anzahl der Werte geteilt haben. Wenn wir 20 Daten haben, ist n gleich 20. Wir müssen die Werte der 20 Daten addieren und durch 20 teilen.
Die obige Notation bedeutet Erwartung oder Erwartungswert des Stichprobenmittelwerts. Umgangssprachlich könnte man sagen, dass er als Mittelwert des Stichprobenmittelwerts berechnet wird. Vor diesem Hintergrund können wir mit den richtigen mathematischen Techniken Folgendes ableiten:
Die Erwartung des Schätzers stimmt mit 'mu' überein, was dem wahren Wert des Parameters entspricht. Das heißt, der wahre Mittelwert. Alles ist gesagt, einige grundlegende Konzepte der Mathematik sind notwendig, um die bisherige Entwicklung zu verstehen.
In ähnlicher Weise könnten wir versuchen, dasselbe mit dem Schätzer der Stichprobenvarianz zu tun. Im Folgenden ist S quadriert die Stichprobenvarianz und der griechische Buchstabe Sigma (der wie der Buchstabe o mit einem Stab nach rechts aussieht) ist die echte Varianz.
Der Unterschied zur obigen Formel ist der zweite Teil der ersten Formel. Nämlich:
Wir schließen daraus, dass die Stichprobenvarianz als Schätzer der Populationsvarianz verzerrt ist. Sein Bias ist gleich dem oben angegebenen Wert. Sie hängt also von der Varianz der Grundgesamtheit und der Stichprobengröße (n) ab. Beachten Sie, dass, wenn n (Stichprobengröße) sehr groß wird, der Bias gegen Null tendiert.
Wenn die Stichprobe tendenziell sehr groß ist, nähert sich der Schätzer dem wahren Wert des Parameters, dann sprechen wir von einem asymptotisch erwartungstreuen Schätzer.