Ein konsistenter Schätzer ist einer, dessen Messfehler oder Bias gegen Null geht, wenn sich der Stichprobenumfang unendlich nähert.
Aus der Definition eines unverzerrten Schätzers können wir den Schluss ziehen, dass wir manchmal Schätzfehler haben. Nun gibt es Fälle, in denen der Fehler abnimmt, wenn die Stichprobe größer wird.
Manchmal nimmt aufgrund der Eigenschaften des verwendeten Schätzers mit zunehmender Stichprobengröße auch der Fehler zu. Es wäre nicht wünschenswert, diesen Schätzer zu verwenden. Nun, a priori wissen wir nicht, wohin die Tendenz tendiert. Wenn sie gegen Null tendiert, tendiert sie zu einem bestimmten Wert oder gegen unendlich, wenn die Stichprobengröße größer wird.
Das heißt, es ist notwendig, den Begriff der Konsistenz zu definieren. Für sie müssen wir sagen, dass es zwei Arten von Konsistenz gibt. Da ist zum einen die einfache Konsistenz. Auf der anderen Seite wird die Konsistenz im mittleren Quadrat gefunden.
In gewisser Weise sind es zwei mathematische Werkzeuge, mit denen wir berechnen können, gegen welche Zahl oder Zahlen unser Schätzer konvergiert.
PunktschätzungEinfache Konsistenz
Ein Schätzer erfüllt die Eigenschaft der einfachen Konsistenz, wenn die folgende Gleichung erfüllt ist:
Von links nach rechts wird die Gleichung wie folgt gelesen: Die Grenze der Wahrscheinlichkeit, dass die absolute Differenz zwischen dem Wert des Schätzers und dem Wert des Parameters größer als der Fehler ist, wenn der Stichprobenumfang gegen unendlich geht, ist gleich null .
Es versteht sich, dass der von Epsilon festgestellte Fehlerwert größer als Null sein muss.
Intuitiv zeigt die Formel an, dass die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers größer als Null Null ist, wenn der Stichprobenumfang sehr groß wird. Umgekehrt beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem sehr großen Stichprobenumfang kein Fehler auftritt, in Wahrscheinlichkeiten ausgedrückt praktisch 100 %.
Schätzer bestehend aus quadratischem Mittel
Ein weiteres Werkzeug, das verwendet werden kann, um zu überprüfen, ob ein Schätzer konsistent ist, ist der quadratische Mittelwertfehler. Dieses mathematische Werkzeug ist noch leistungsfähiger als das vorherige. Der Grund ist, dass die Anforderung dieser Bedingung höher ist.
Im vorherigen Abschnitt war die Anforderung, dass die Möglichkeit, einen Fehler probabilistisch zu machen, Null oder sehr nahe Null ist.
Was wir nun fordern, wird durch die folgende mathematische Gleichheit definiert:
Das heißt, wenn der Stichprobenumfang groß ist, ist die mathematische Erwartung der quadrierten Fehler null. Die einzige Möglichkeit, dass dieser Wert null ist, besteht darin, dass der Fehler immer null ist. Warum? Da der Schätzfehler auf zwei erhöht wird (Schätzer - Wahrer Wert des Parameters), ist das Ergebnis immer positiv. Es sei denn, der Fehler ist null. Null auf zwei erhöht ist Null.
Wenn der Grenzwert 0,0001 zurückgibt, können wir natürlich davon ausgehen, dass er gleich Null ist. Es ist fast unmöglich, dass die quadratische Fehlerkarte auf Null geht.
Statistisch gesehen sagen wir, dass ein Schätzer im quadratischen Mittel konsistent ist, falls der Erwartungswert des quadratischen Fehlers des Schätzers unter Berücksichtigung verschiedener Stichproben null oder sehr nahe daran ist.