Eigenschaften von Schätzern

Die Eigenschaften der Schätzer sind die Qualitäten, die diese haben können und die dazu dienen, diejenigen auszuwählen, die bessere Ergebnisse liefern können.

Um mit der Definition des Konzepts des Schätzers zu beginnen, sagen wir, dass bei einer beliebigen Zufallsstichprobe (x₁, x₂, x₃,…, X_nein) ein Schätzer repräsentiert eine Population, die von φ einem Parameter abhängt, den wir nicht kennen.

Dieser Parameter, den wir mit dem griechischen Buchstaben fi (φ) bezeichnen, kann beispielsweise der Mittelwert einer beliebigen Zufallsvariablen sein.

Mathematisch hängt ein einparametriger Q-Schätzer von den zufälligen Beobachtungen in der Stichprobe (x₁, x₂, x₃,…, X_nein) und eine bekannte Funktion (h) der Stichprobe. Der Schätzer (Q) ist eine Zufallsvariable, da er von der Stichprobe abhängt, die Zufallsvariablen enthält.

Q = h (x₁, x₂, x₃,…, X_nein)

Unvoreingenommenheit eines Schätzers

Ein Q-Schätzer von φ ist ein unverzerrter Schätzer, wenn E (Q) = φ für alle möglichen Werte von φ. Wir definieren E (Q) als Erwartungswert oder Erwartungswert des Schätzers Q.

Bei verzerrten Schätzern würde diese Verzerrung wie folgt dargestellt:

Vorspannung (Q) = E (Q) -

Wir können sehen, dass der Bias die Differenz zwischen dem erwarteten Wert des Schätzers E (Q) und dem wahren Wert des Populationsparameters φ ist.

Punktschätzung

Effizienz eines Schätzers

Ja Q₁ und Q₂ zwei unverzerrte Schätzer von φ sind, ist ihre Beziehung zu Q effizient₂ wenn Var (Q₁) ≤ Var (Q₂) für jeden Wert von φ, solange die statistische Stichprobe von φ strikt größer als 1 ist, n> 1. Dabei ist Var die Varianz und n die Stichprobengröße.

Unter der Annahme, dass wir zwei Schätzer mit unverzerrter Eigenschaft haben, können wir intuitiv sagen, dass einer (Q₁) ist effizienter als ein anderer (Q₂) wenn die Variabilität der Ergebnisse von einem (Q₁) ist kleiner als die des anderen (Q₂). Es ist logisch zu denken, dass eine Sache, die mehr variiert als eine andere, weniger "genau" ist.

Daher können wir dieses Kriterium für die Auswahl von Schätzern nur verwenden, wenn sie unverzerrt sind. In der vorherigen Aussage gehen wir bei der Definition der Effizienz bereits davon aus, dass die Schätzer unverzerrt sein müssen.

Um Schätzer zu vergleichen, die nicht unbedingt unverzerrt sind, d. h., es können Verzerrungen vorliegen, wird empfohlen, den mittleren quadratischen Fehler (MSE) der Schätzer zu berechnen.

Wenn Q ein Schätzer von φ ist, dann ist die ECM von Q definiert als:

Der mittlere quadratische Fehler (MSE) berechnet den durchschnittlichen Abstand, der zwischen dem erwarteten Wert des Stichprobenschätzers Q und dem Populationsschätzer besteht. Die quadratische Form des ECM ist darauf zurückzuführen, dass die Fehler in Bezug auf den erwarteten Wert standardmäßig negativ oder übermäßig positiv sein können. Auf diese Weise berechnet ECM immer positive Werte.

ECM hängt von Varianz und Bias (sofern vorhanden) ab, was es uns ermöglicht, zwei Schätzer zu vergleichen, wenn einer oder beide verzerrt sind. Diejenige, deren NTE größer ist, wird als weniger präzise (mit mehr Fehlern) und daher als weniger effizient angesehen.

Konsistenz eines Schätzers

Konsistenz ist eine asymptotische Eigenschaft. Diese Eigenschaft ähnelt der Effizienzeigenschaft mit dem Unterschied, dass die Konsistenz den wahrscheinlichen Abstand zwischen dem Wert des Schätzers und dem wahren Wert des Populationsparameters misst, wenn der Stichprobenumfang unbegrenzt ansteigt. Diese unbegrenzte Zunahme der Stichprobengröße ist die Grundlage der asymptotischen Eigenschaft.

Um die asymptotische Analyse durchzuführen, gibt es eine minimale Probengröße (überprüfen Sie die Konsistenz des Schätzers mit zunehmender Stichprobe). Näherungen für große Stichproben funktionieren gut für Stichproben von etwa 20 Beobachtungen (n = 20). Mit anderen Worten, wir wollen sehen, wie sich der Schätzer verhält, wenn wir die Stichprobe vergrößern, aber dieser Anstieg geht ins Unendliche. Vor diesem Hintergrund machen wir eine Näherung und aus 20 Beobachtungen in einer Stichprobe (n ≥ 20) ist die asymptotische Analyse angemessen.

Mathematisch definieren wir Q₁n als Schätzer von φ aus einer beliebigen Stichprobe (x₁, x₂, x₃,…, X_nein) der Größe (nein). Wir können also sagen, dass Q_nein ist ein konsistenter Schätzer von φ, wenn:

Dies sagt uns, dass die Differenzen zwischen dem Schätzer und seinem Populationswert, |Q_nein - φ |, müssen sie größer als Null sein. Dafür drücken wir es in absoluten Werten aus. Die Wahrscheinlichkeit dieser Differenz geht gegen 0 (wird immer kleiner), wenn der Stichprobenumfang (nein) tendiert ins Unendliche (wird größer und größer).

Mit anderen Worten, es ist immer weniger wahrscheinlich, dass Q_nein entfernt sich zu weit von φ, wenn die Stichprobengröße zunimmt.