Der Absolutwert einer reellen Zahl ist ihr Betrag, unabhängig vom Vorzeichen.
Der Absolutwert einer Zahl ist also der Wert, der sich aus der Eliminierung des ihr entsprechenden Vorzeichens ergibt.
Um es formaler zu betrachten, müssen wir die folgenden Bedingungen erfüllen, wobei das x zwischen zwei Balken bedeutet, dass wir den Absolutwert von x finden:
| x | = x wenn x≥ 0
|x | = -x wenn x <0
Das heißt, der Absolutwert einer positiven Zahl ist dieselbe Zahl. Stattdessen ist der Absolutwert einer negativen Zahl gleich dieser Zahl, jedoch mit einem negativen Vorzeichen davor. Das heißt, multipliziert mit -1.
Außerdem ist der Absolutwert von -10 - (- 10) = 10. Daher müssen wir betonen, dass der Absolutwert immer positiv ist.
Absolutwerteigenschaften
Unter den absoluten Werteigenschaften sind folgende hervorzuheben:
- Der absolute Wert einer Zahl und ihres Gegenteils ist gleich. Das heißt, der Wert von -19 und 19 ist gleich: 19.
- Der Absolutwert einer Summe ist gleich oder kleiner als die Summe der Absolutwerte der Summanden. Das heißt, es ist wahr:
| x + y | ≤ | x | + | y |
Wir können das oben an einigen Beispielen überprüfen:
|8+9|≤|8|+|9|
|17|≤8+9
17≤17
|12-25|≤|12|+|-25|
|-13|≤12+25
13≤37
|16+31-21|≤|16|+|31|+|-21|
|26|≤16+31+21
26≤68
- Eine andere Eigenschaft ist die sogenannte Multiplikativ-Eigenschaft. Dies sagt uns, dass der Absolutwert eines Produkts gleich dem Produkt der Absolutwerte der Faktoren ist. Das heißt, Folgendes ist wahr:
| xy | = | x |. | y |
Wir können das oben an den folgenden Beispielen überprüfen:
| 3 × 4 | = | 3 | x | 4 |
|12|=3×4
12=12
| 6x-5 | = | 6 | x | -5 |
|-30|=6×5
30=30
- Als Gegenstück zur multiplikativen Eigenschaft haben wir die Erhaltung der Division, die uns sagt, dass der Absolutwert einer Division gleich dem Quotienten der Absolutwerte der gleichen Elemente dieser Operation ist. Dies, solange der Divisor nicht Null ist. Das heißt, es ist wahr:
| x / y | = | x | / | y |
Wir können es an einigen Beispielen sehen:
|60/5|=|60|/|5|
|12|=60/5
12=12
|-87/3|=|-87|/|3|
|-29|=87/3
29=29
Absolutwert in einer Grafik
Als nächstes sehen wir uns an, wie ein Beispiel für einen Absolutwert in einer kartesischen Ebene aussehen würde.
In diesem Fall haben wir eine einfache Funktion y = |x |, und wir stellen fest, dass der Wert von y immer positiv ist, unabhängig vom Wert von x.
