Der Begriff konkav wird verwendet, um eine Oberfläche zu beschreiben, die eine nach innen gerichtete Krümmung aufweist, wobei ihr mittlerer Teil am stärksten abgesenkt oder abgesenkt ist.
Daher sagen wir, dass ein Hügel oder ein Hindernis, wie es auf der Straße zur Begrenzung der Geschwindigkeit zu sehen ist, konkav ist.
Ebenso kann analysiert werden, ob es geometrische Figuren gibt, die auch konkav sind. Eine konkave Kurve ist beispielsweise eine Kurve mit einer umgekehrten U-Form. Eine Möglichkeit, sich leicht daran zu erinnern, wie eine konkave Funktion aussieht, ist ein trauriges Gesicht.
Obwohl wir die Konkavität in Bezug auf eine Kurve verwendet haben, ist sie in Wahrheit auch auf mathematische Funktionen und Polygone anwendbar, wie wir später sehen werden.
Wie erkennt man, ob eine Funktion konkav ist?
Wenn die zweite Ableitung einer Funktion an einem Punkt kleiner als Null ist, dann ist die Funktion an diesem Punkt konkav.
Das oben Gesagte kann wie folgt ausgedrückt werden:
f »(x) <0
Zum Beispiel haben wir die Funktion f (x) = -x2 + 2x + 5. Seine erste Ableitung ist f '(x) = -2x +2 und seine zweite Ableitung wäre f »(x) = -2. Daher ist die Funktion f (x) = x2 + x + 3 ist für jeden Wert von x konkav, wie wir in der Grafik unten sehen, die eine Parabel ist:
Stellen wir uns nun diese andere Funktion f (x) = x3-5x2 +7. Seine erste Ableitung f '(x) = 3x2 -10x und seine zweite Ableitung f »(x) = 6x -10. Sobald wir die zweite Ableitung berechnet haben, müssen wir überprüfen, für welche Werte von x die Funktion konvex ist.
Also setzen wir die zweite Ableitung gleich 0:
f »(x) = 6x-10 = 0
6x = 10
x = 1,67
Daher ist die Funktion konkav, wenn x kleiner als 1,67 ist, da die zweite Ableitung der Gleichung negativ ist. Wir können dies überprüfen, indem wir verschiedene Werte von x ersetzen. Ebenso ist die Funktion konvex, wenn x größer als 1,67 ist, wie wir in der folgenden Abbildung sehen können:
Konkaves Polygon
Ein konkaves Polygon ist ein Polygon, bei dem, um zwei seiner Punkte zu verbinden, eine gerade Linie gezogen werden muss, die außerhalb der Figur liegt (eine äußere Diagonale). Außerdem ist mindestens einer seiner Innenwinkel größer als 180º. Dies ist zum Beispiel bei einem konkaven Viereck der Fall, wie wir es unten sehen:
Das Gegenteil eines konkaven Polygons ist ein konvexes. Dies ist derjenige, bei dem alle Innenwinkel kleiner als 180º sind und um zwei beliebige Punkte in der Figur zu verbinden, kann eine gerade Linie gezeichnet werden, die innerhalb des Polygons bleibt.