Das Central Limit Theorem (TCL) ist eine statistische Theorie, die besagt, dass bei einer ausreichend großen Stichprobe der Grundgesamtheit die Verteilung der Stichprobenmittelwerte einer Normalverteilung folgt.
Darüber hinaus gibt der TCL an, dass sich der Stichprobenmittelwert mit zunehmender Stichprobengröße dem Grundgesamtheitsmittelwert annähert. Daher können wir mit Hilfe des TCL die Verteilung des Stichprobenmittelwertes einer bestimmten Grundgesamtheit mit bekannter Varianz definieren. Die Verteilung folgt also einer Normalverteilung, wenn der Stichprobenumfang groß genug ist.
Haupteigenschaften des zentralen Grenzwertsatzes
Der zentrale Grenzwertsatz hat eine Reihe sehr nützlicher Eigenschaften im statistischen und probabilistischen Bereich. Die wichtigsten sind:
- Wenn der Stichprobenumfang groß genug ist, folgt die Verteilung der Stichprobenmittelwerte ungefähr einer Normalverteilung. Der TCL betrachtet eine Stichprobe als groß, wenn ihre Größe größer als 30 ist. Wenn die Stichprobe daher größer als 30 ist, hat der Stichprobenmittelwert eine Verteilungsfunktion, die einer normalen Verteilungsfunktion nahe kommt. Und das unabhängig von der Distributionsform, mit der wir arbeiten.
- Der Mittelwert der Grundgesamtheit und der Mittelwert der Stichprobe sind gleich. Das heißt, der Mittelwert der Verteilung aller Stichprobenmittelwerte ist gleich dem Mittelwert der Gesamtpopulation.
- Die Varianz der Verteilung der Stichprobenmittelwerte beträgt σ² / n. Dies ist die Varianz der Grundgesamtheit geteilt durch die Stichprobengröße.
Dass die Verteilung der Stichprobenmittelwerte einer normalen ähnelt, ist enorm nützlich. Denn die Normalverteilung ist sehr einfach anzuwenden, um Hypothesentests und die Konstruktion von Konfidenzintervallen durchzuführen. In der Statistik ist es sehr wichtig, dass eine Verteilung normal ist, da viele Statistiken diese Art der Verteilung erfordern. Darüber hinaus ermöglicht uns die TCL, über den Stichprobenmittelwert Rückschlüsse auf den Mittelwert der Grundgesamtheit zu ziehen. Und das ist sehr nützlich, wenn wir aus Mangel an Mitteln keine Daten von einer ganzen Bevölkerung erheben können.
Beispiel für den zentralen Grenzwertsatz
Stellen wir uns vor, wir möchten die historischen Durchschnittsrenditen des S&P 500-Index analysieren, der, wie wir wissen, etwa 500 Unternehmen enthält. Aber wir haben nicht genug Informationen, um alle 500 Unternehmen im Index zu analysieren. In diesem Fall wäre die durchschnittliche Rentabilität des S&P 500 der Bevölkerungsdurchschnitt.
Nach dem TCL können wir nun eine Stichprobe dieser 500 Unternehmen ziehen, um die Analyse durchzuführen. Die einzige Einschränkung, die wir haben, ist, dass in der Stichprobe mehr als 30 Unternehmen vorhanden sein müssen, damit das Theorem erfüllt ist. Stellen wir uns also vor, wir wählen nach dem Zufallsprinzip 50 Unternehmen aus dem Index aus und wiederholen den Vorgang mehrmals. Die Schritte im Beispiel wären die folgenden:
- Wir wählen die Stichprobe von etwa 50 Unternehmen aus und ermitteln die durchschnittliche Rentabilität der gesamten Stichprobe.
- Wir wählen kontinuierlich 50 Unternehmen aus und ermitteln die durchschnittliche Rentabilität.
- Die Verteilung aller durchschnittlichen Renditen aller ausgewählten Stichproben wird einer Normalverteilung angenähert.
- Die durchschnittlichen Renditen aller ausgewählten Stichproben entsprechen ungefähr den durchschnittlichen Renditen des Gesamtindex. Wie durch den zentralen Grenzwertsatz gezeigt.
Daher können wir uns durch Schlussfolgerung aus der durchschnittlichen Rendite der Stichprobe der durchschnittlichen Rendite des Index nähern.