Eine geometrische Folge ist eine unendliche Folge von Zahlen, bei der das Verhältnis über die ganze Folge konstant ist und durch eine Exponentialfunktion dargestellt werden kann.
Mit anderen Worten, eine geometrische Folge ist eine Zahlenfolge und daher unendlich, in der die Variation zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zahlen in der ganzen Reihe immer gleich ist und die, wenn sie einmal dargestellt ist, mit einer Exponentialfunktion zusammenfällt.
Geometrische Progressionsformel
Ein geometrischer Verlauf der Form X1, X2, …, Xnein ,
X1 = X1
X2 = X1 · Grund
X3 = X2 · Grund
…
Xn-1 = Xn-2 · Grund
Xnein = Xn-1 · Grund
Um das Verhältnis einer geometrischen Progression zu berechnen, müssten wir also nur die folgende Formel anwenden:
Der Grund wird für die gesamte Progression immer der gleiche sein. Mit anderen Worten, wenn wir das Verhältnis eines Zahlenpaares und das Verhältnis eines anderen Zahlenpaares berechnen und daraus ein anderes Verhältnis ergibt, dann bedeutet dies, dass wir irgendwann einen Fehler gemacht haben.
Das gewählte Zahlenpaar muss immer fortlaufend sein, da die nächste Zahl von der vorherigen multipliziert mit dem Verhältnis abhängt.
Beispiel
Gegeben einen geometrischen Verlauf der Form X1, X2, …, X40 :
Das tiefgestellte X gibt die Position der Zahl innerhalb der Sequenz an. Es gibt also 40 Elemente in dieser Progression.
Die geometrische Folge mag schwieriger erscheinen als die arithmetische Folge, aber es ist im Wesentlichen das gleiche Konzept. Da wir den Grund auf den ersten Blick nicht sehen, greifen wir daher auf Berechnungen zurück:
X2 / X1 = 1,5 / 1 = 1,5 Verhältnis
X3 / X2 = 2,25 / 1,5 = 1,5 Verhältnis
X4 / X3 = 3,38 / 2,25 = 1,5 ← Verhältnis
…
X39 / X38 = 4.914.369,92 / 3.276.246,61 = 1,5 Verhältnis
X40 / X39 = 7.371.554,88 / 4.914.369,92 = 1,5 Verhältnis.
Obwohl die Zahlen steigen, wird der Grund immer der gleiche sein. Es ist wichtig, hervorzuheben, dass wir durch eine vierzigfache Multiplikation mit 1,5 7.371.554,88 erhalten.
Darstellung
Wenn wir alle Zahlen aus der vorherigen Progression in einem Graphen sammeln und alle Punkte verbinden, werden wir sehen, dass die Funktion der Exponentialfunktion sehr ähnlich ist.
Diese Progression ist also monoton ansteigend, da das Verhältnis größer als 0 ist.
Vergleicht man die arithmetische Progression mit der geometrischen Progression, so kommt man zu dem Schluss, dass es besser ist, Verhältnisse zu multiplizieren (geometrische Progression) als Verhältnisse zu addieren (arithmetische Progression), um in einigen wenigen Elementen innerhalb der Progression höhere Zahlen zu erhalten.
