Die Posterior-Wahrscheinlichkeit ist diejenige, die basierend auf bereits bekannten Daten nach einem Prozess oder Experiment berechnet wird.
Die spätere Wahrscheinlichkeit ist dann diejenige, die nicht auf der Grundlage von Vermutungen oder Vorkenntnissen bezüglich der Verteilung einer Wahrscheinlichkeit geschätzt wird, wie bei der früheren Wahrscheinlichkeit.
Um es besser zu verstehen, schauen wir uns ein Beispiel an.
Angenommen, ein Unternehmen entwickelt ein neues Hygieneprodukt, zum Beispiel ein Shampoo. Daher bewertet das Unternehmen eine Gruppe von Freiwilligen, um zu sehen, ob ein Prozentsatz von ihnen nach der Verwendung des Produkts Schuppen entwickelt.
So ergibt sich beispielsweise, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein erwachsener Mann beim Ausprobieren dieses neuen Produktes schuppen wird, im Nachhinein 2% beträgt.
Stattdessen tritt ein Beispiel für eine a-priori-Wahrscheinlichkeit auf, wenn wir vor dem Würfeln davon ausgehen, dass die gleiche Wahrscheinlichkeit besteht, dass eine der sechs Zahlen als Ergebnis würfelt, also 1/6.
Geschichte der WahrscheinlichkeitA-posteriori-Wahrscheinlichkeit und Satz von Bayes
Um Aufgaben mit Posterior-Wahrscheinlichkeiten zu lösen, greifen wir normalerweise auf den Satz von Bayes zurück, dessen Formel wie folgt lautet:
In der obigen Formel ist B das Ereignis, über das wir Informationen haben, und A (n) sind die verschiedenen bedingten Ereignisse. Das heißt, im Zähler haben wir die bedingte Wahrscheinlichkeit, also die Möglichkeit, dass ein Ereignis B eintritt, wenn ein anderes Ereignis A stattgefunden hatnein. Im Nenner betrachten wir die Summe der bedingten Ereignisse, die der Gesamtwahrscheinlichkeit des Auftretens von Ereignis B entsprechen würde, unter der Annahme, dass keines der möglichen bedingten Ereignisse ausgelassen wird.
Sehen wir uns im nächsten Abschnitt besser ein Beispiel an, damit es besser verstanden wird.
Beispiel einer a-posteriori-Wahrscheinlichkeit
Angenommen, wir haben 4 Klassenzimmer, die mit derselben Prüfung bewertet wurden.
In der ersten Gruppe oder Klasse, die wir A nannten, bestanden 60% der Schüler die Prüfung, während in den übrigen Klassenzimmern, die wir B, C und D nennen werden, der Prozentsatz der bestandenen Prüfungen bei 50%, 56% lag und 64 % bzw. Das wären Aposteriori-Wahrscheinlichkeiten.
Zu berücksichtigen ist auch, dass die Klassenräume A und B 30 Schüler haben, während die Klassenräume C und D jeweils 25 Schüler haben. Wenn wir also aus den Prüfungen der vier Gruppen eine zufällige Bewertung wählen und die Note bestanden hat, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie zum Klassenraum A gehört?
Für seine Berechnung wenden wir den Satz von Bayes an, wobei Anein der bedingte Fall, dass die Prüfung einer/m Schüler/in der Klassen A und B gehört, die bestandene Note:
P (Anein/B) = (0,6 * 30/110) / ((0,6) * (30/110) + (0,5) * (30/110) + (0,56) * (25/110) + (0,64) * (25/ 110))
P (Anein/ B) = 0,1636 / 0,5727 = 0,2857
Es sollte beachtet werden, dass wir die Anzahl der Schüler aus Klasse X durch die Gesamtzahl der Schüler in den vier Gruppen teilen, um die Wahrscheinlichkeit herauszufinden, dass der Schüler aus Klasse X kommt.
Das Ergebnis sagt uns, dass es eine Wahrscheinlichkeit von ungefähr 28,57 % gibt, dass, wenn wir eine zufällige Prüfung wählen und diese bestanden hat, diese aus Klasse A stammt.
