Variation ist auf dem Gebiet der Mathematik jedes der möglichen Tupel, die aus einer Gruppe von Elementen gebildet werden können.
Das heißt, Variation wird jede der möglichen Gruppierungen genannt, die mit den Elementen einer bestimmten Menge, zum Beispiel Zahlen oder Objekten, gebildet werden können.
Wenn wir x Elemente haben, können wir Tupel mit einer Anzahl n Elemente bilden, was eine Vielzahl von Alternativen bietet. Letzteres hängt davon ab, ob es möglich ist, Elemente im selben Tupel zu wiederholen oder nicht.
Ein weiterer wichtiger Aspekt ist, dass Variationen im Gegensatz zur Kombinatorik einen Einfluss auf die Reihenfolge haben, in der die Elemente platziert werden.
Ebenso unterscheiden sich Variationen von Permutationen dadurch, dass im letzteren Fall immer alle zur Verfügung gestellten Elemente genommen werden und nicht eine Teilmenge.
Was ist ein Tupel?
Ein Tupel ist eine endliche geordnete Folge oder Liste, deren Elemente Komponenten genannt werden. Das heißt, ein Tupel kann nicht aus allen natürlichen Zahlen und ganzen Zahlen größer als 3 bestehen, da es sich um eine unendliche Menge handelt.
Arten von Variationen
Es gibt zwei Arten von Variationen:
- Variationen mit Wiederholung: Innerhalb jedes Tupels kann ein Element mehr als einmal wiederholt werden. Wenn wir zum Beispiel haben:
A = (3,6,7)
Für Tupel aus zwei Elementen wären die möglichen Variationen die folgenden:
(3,3);(3,6);(3,7);(6,3);(6,6);(6,7);(7,3);(7,6);(7,7)
Die Formel zur Berechnung der Anzahl der Variationen mit Wiederholung lautet wie folgt, wobei x die Gesamtzahl der Elemente und n die Anzahl der Elemente in jedem Tupel ist:
xnein
Im gezeigten Beispiel wäre es daher gelöst: 32=9.
- Variationen ohne Wiederholung: Dies bedeutet, dass die Elemente nicht innerhalb desselben Tupels wiederholt werden können. Wenn wir zum Beispiel im vorherigen Fall dieselbe Menge A haben, wären die Variationen ohne Wiederholung:
(3,6);(3,7);(6,3);(6,7);(7,3);(7,6)
In diesem Fall wäre die folgende Formel:
x! / (x-n)!
Im Zähler der Formel steht die Fakultät der Gesamtzahl der Elemente, während im Nenner die Fakultät der Subtraktion der Gesamtzahl der Elemente minus der Anzahl der Elemente im Tupel steht. Im gezeigten Beispiel wäre es also gelöst:
3! ((3-2)! = 3x2x1 / 1! = 6/1 = 6
