Ein robuster Schätzer oder einer mit der Eigenschaft der Robustheit ist einer, dessen Gültigkeit durch die Verletzung einer der Ausgangsannahmen nicht geändert wird.
Die Idee eines robusten Schätzers besteht darin, sich auf mögliche Fehler in den Anfangsannahmen vorzubereiten. In Statistik und Wirtschaftswissenschaften werden normalerweise Ausgangshypothesen verwendet. Das heißt, Annahmen, unter denen a formuliert, dass eine Theorie erfüllt werden kann. Zum Beispiel: "Vorausgesetzt, Messi ist nicht verletzt, wird er sein 100. Spiel mit Barcelona bestreiten."
Wir haben eine Ausgangshypothese und ein Ergebnis. Die Hypothese ist, dass er sich nicht verletzt. Bei einer Verletzung wird sich die Prognose, dass er sein 100. Ligaspiel bestreiten wird, nicht erfüllen. In diesem Fall arbeiten wir nicht mit einem robusten Schätzer. Warum? Denn wenn er ein robuster Schätzer wäre, würde die Tatsache, dass er eine Verletzung hatte, die Vorhersage nicht gefährden.
PunktschätzungDer robuste Schätzer und die Ausgangsannahmen
Das obige Beispiel ist ein ehrlich gesagt einfaches Beispiel. In der Statistik sind es keine so einfachen Beispiele, es sei denn, wir verfügen über Grundkenntnisse. Wir werden jedoch versuchen, die anfängliche Annahme zu erklären, die normalerweise gebrochen wird, wenn wir eine Schätzung vornehmen.
Die Ausgangsannahmen oder Ausgangsannahmen sind in der Wirtschaftswissenschaft üblich. Es ist sehr üblich, dass ein ökonomisches Modell anfängliche Annahmen spezifiziert. Die Annahme, dass ein Markt vollkommen wettbewerbsorientiert ist, ist beispielsweise in vielen Wirtschaftsmodellen üblich.
Wenn wir annehmen, dass wir einem vollkommen wettbewerbsorientierten Markt gegenüberstehen, nehmen wir an – vieles vereinfachend – dass wir alle gleich sind. Wir haben alle das gleiche Geld, die Produkte sind gleich und niemand kann den Preis einer Ware oder Dienstleistung beeinflussen.
Aus dieser Perspektive sticht in der Statistik vor allem die der Wahrscheinlichkeitsverteilung heraus. Damit bestimmte Eigenschaften unseres Schätzers erfüllt sind, muss erfüllt sein, dass das zu untersuchende Phänomen nach einer Wahrscheinlichkeitsstruktur verteilt ist.
Normalverteilung
Die normale Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die gebräuchlichste. Daher sein Name. Es wird so genannt, weil es "normal" oder üblich ist. Sehr häufig ist zu sehen, wie in vielen statistischen Studien behauptet wird: "Wir gehen davon aus, dass die Zufallsvariable X normalverteilt ist."
Unter der Normalverteilung gibt es einige Schätzer, die gut funktionieren. Natürlich müssen wir uns fragen, was ist, wenn die Verteilung der Zufallsvariablen X keine Normalverteilung ist? Es könnte sich beispielsweise um eine hypergeometrische Verteilung handeln.
Beispiel für einen robusten Schätzer
Nun, da wir eine kleine Idee haben, nehmen wir ein Beispiel. Stellen wir uns vor, wir wollen den Durchschnitt der Tore von Leo Messi pro Saison berechnen. In unserer Studie gehen wir davon aus, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Messis Toren eine Normalverteilung ist. Wir verwenden also einen Schätzer des Mittelwerts. Dieser Schätzer hat eine Formel. Wir wenden es an und es liefert uns ein Ergebnis. Zum Beispiel 48,5 Tore pro Saison.
Nehmen wir unter Berücksichtigung des oben Gesagten an, dass wir einen Fehler bei der Art der Wahrscheinlichkeitsverteilung gemacht haben. Wenn die Wahrscheinlichkeitsverteilung tatsächlich die t-Verteilung eines Schülers wäre, würde uns die Anwendung der entsprechenden Mittelwertformel das gleiche Ergebnis liefern? Das Ergebnis kann beispielsweise 48 Tore sein. Das Ergebnis ist nicht dasselbe, aber wir sind uns sehr nahe gekommen. Zusammenfassend können wir sagen, dass der Schätzer robust ist, da ein Fehler in der anfänglichen Annahme die Ergebnisse nicht wesentlich verändert.