Die Bernoulli-Verteilung ist ein theoretisches Modell, das verwendet wird, um eine diskrete Zufallsvariable darzustellen, die nur in zwei sich gegenseitig ausschließenden Ergebnissen enden kann.
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Bernoulli-Wahrscheinlichkeitsfunktion
Wir definieren z als die Zufallsvariable Z, wenn sie einmal bekannt und fixiert ist. Das heißt, Z ändert sich zufällig (der Würfel dreht und dreht sich in einem einzigen Wurf), aber wenn wir es beobachten, legen wir den Wert fest (wenn der Würfel auf den Tisch fällt und ein bestimmtes Ergebnis liefert). In diesem Moment werten wir das Ergebnis aus und weisen ihm eine (1) oder null (0) zu, je nachdem, was wir als "Erfolg" oder nicht als "Erfolg" bezeichnen.
Ist die Zufallsvariable Z einmal gesetzt, kann sie nur noch zwei spezifische Werte annehmen: null (0) oder eins (1). Dann ist die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion der Bernoulli-Verteilung nur dann ungleich null (0), wenn z null (0) oder eins (1) ist. Der umgekehrte Fall wäre, dass die Verteilungsfunktion der Bernoulli-Verteilung null (0) ist, da z ein anderer Wert als null (0) oder eins (1) sein wird.
Die obige Funktion kann auch umgeschrieben werden als:
Wenn wir in der ersten Formel der Wahrscheinlichkeitsfunktion z = 1 einsetzen, sehen wir, dass das Ergebnis p ist, das mit dem Wert der zweiten Wahrscheinlichkeitsfunktion bei z = 1 übereinstimmt. In ähnlicher Weise erhalten wir, wenn z = 0, (1-p) für jeden Wert von p.
Momente der Funktion
Die Momente einer Verteilungsfunktion sind spezifische Werte, die das Verteilungsmaß in unterschiedlichem Maße erfassen. In diesem Abschnitt zeigen wir nur die ersten beiden Momente: den mathematischen Erwartungswert bzw. Erwartungswert und die Varianz.
Erster Moment: Erwartungswert.
Zweiter Moment: Varianz.
Beispiel für Bernouilli-Momente
Wir nehmen an, wir wollen die ersten beiden Momente einer Bernoulli-Verteilung mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 0.6 berechnen, so dass
Wobei D eine diskrete Zufallsvariable ist.
Wir wissen also, dass p = 0,6 und (1-p) = 0,4.
- Erster Moment: Erwartungswert.
Zweiter Moment: Varianz.
Außerdem wollen wir die Verteilungsfunktion mit der Wahrscheinlichkeit p = 0,6 berechnen. Dann:
Gegeben die Wahrscheinlichkeitsfunktion:
Wenn z = 1
Wenn z = 0
Die blaue Farbe zeigt an, dass die Teile zwischen den beiden (äquivalenten) Ausdrucksweisen der Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion der Bernoulli-Verteilung übereinstimmen.
