Die Winkelhalbierende eines Dreiecks ist die Linie, die senkrecht zu einer der Seiten des Dreiecks das Segment oder die Seite, die es schneidet, in zwei gleiche Teile teilt.
Das heißt, die Winkelhalbierende kreuzt eine der Seiten des Dreiecks, bildet vier rechte Winkel oder 90º und teilt diese Seite in zwei gleich lange Segmente.
Die Winkelhalbierende ist neben der Winkelhalbierenden eine der bemerkenswerten Linien eines Dreiecks.
Es sollte beachtet werden, dass jedes Dreieck drei Winkelhalbierende hat, eine für jede seiner Seiten.
Ein weiterer wichtiger Punkt ist, dass sich die drei Winkelhalbierenden des Dreiecks im Umkreismittelpunkt der Figur schneiden. Dies ist der Mittelpunkt des Kreises, der das Dreieck enthält. Wir können deutlicher sehen, was in der folgenden Abbildung erklärt wird, wobei D der Umkreismittelpunkt ist.
Ein relevantes Merkmal des Umkreismittelpunkts ist auch, dass er von den drei Eckpunkten des Dreiecks gleich weit entfernt ist, d. h. sein Abstand zu jedem seiner Eckpunkte ist gleich.
Im oberen Bild sehen wir, dass die Winkelhalbierenden diejenigen sind, die durch die Punkte E, F und G gehen und Punkte sind, die gleich weit von den Enden der Segmente entfernt sind (wie zuvor erklärt). Somit gilt:
AE = EC, BF = FA, BG = GC
Es ist zu beachten, dass die Winkelhalbierende eine Gerade ist, d. h. eine Folge von Punkten, die sich unbegrenzt in eine einzige Richtung erstreckt (sie hat keine Kurven).
Beispiel für Mediatrix
Angenommen, in der Abbildung unten ist die Linie, die durch die Punkte D und G geht, die Winkelhalbierende des Segments BC. Ebenso ist bekannt, dass das DG-Segment 3 Meter misst, das DC-Segment 5 Meter und das AB-Segment 6 Meter. Wie groß ist der Umfang und die Fläche des Dreiecks?
Zunächst müssen wir uns daran erinnern, dass wir den Satz des Pythagoras auf das rechtwinklige Dreieck DGC anwenden können.
Wie wir in der Entwicklung sehen, müssen wir uns daran erinnern, dass BG gleich GC ist, also BC zweimal GC ist.
Wenn ich nun die Strecke AB kenne, kannst du den Satz des Pythagoras auf das Dreieck ABC anwenden:
So kann ich den Umfang (P) und die Fläche (A) des Dreiecks finden, indem ich die Formel von Heron anwende und s der Halbumfang ist:
