Der Satz von Thales ist ein Gesetz der Geometrie, das uns sagt, dass, wenn eine Linie parallel zu beiden Seiten eines Dreiecks gezogen wird, wir ein Dreieck haben, das dem ursprünglichen Dreieck ähnelt.
Mit anderen Worten, wenn wir ein Dreieck schneiden, indem wir eine Linie parallel zu einer seiner Seiten ziehen, erhalten wir ein Dreieck, das dem zuvor existierenden ähnlich ist.
An dieser Stelle sollte beachtet werden, dass zwei Dreiecke ähnlich sind, wenn ihre entsprechenden Winkel kongruent sind (sie messen dasselbe) und ihre homologen Seiten zueinander proportional sind.
Um es besser zu verstehen, schauen wir uns die folgende Abbildung an:
Mit dem Satz von Thales kann geschlossen werden, dass α = δ und β = ε
Darüber hinaus sind die Seiten, wie bereits erwähnt, proportional, sodass gilt:
Eine Anekdote des Historikers Plutarch erzählt, dass Thales von Milet auf einer seiner Reisen diesen Satz benutzte, um die Höhe der Pyramiden von Gizeh (die von Cheops, Khafre und Menkaure) in Ägypten zu kennen. Daher beschloss er, einen Stock senkrecht auf den Boden zu legen und darauf zu warten, dass die Länge des Objekts dem Schatten entspricht, den es warf. Zu dieser Zeit entspräche auch der Schatten der Pyramide ihrer Höhe. In diesem Fall sind die ähnlichen Dreiecke:
- Derjenige, dessen zwei Seiten der Stab und sein Schatten sind.
- Das Dreieck, das als eine Seite die Höhe der Pyramide und als andere Seite ihren Schatten hat.
Um es besser zu verstehen, stellen wir uns in der obigen Abbildung vor, dass die Pyramide diejenige ist, die aus den Scheitelpunkten D, E und F besteht, ihre Höhe ist das Segment HE und ihr Schatten IE. Inzwischen ist der Stab das Segment AB und sein Schatten CB. Daher ist AB / CB = HE / IE. Dies unter Berücksichtigung der Parallelität der Sonnenstrahlen (sie kreuzen sich nicht oder verlängern sich nicht), so dass sie mit dem Stab den gleichen Winkel wie mit der Pyramide bilden (Winkel α und β sind gleich).
Beispiel für Thales-Theorem
Um den Satz von Thales besser zu verstehen, schauen wir uns die folgende Abbildung an:
Wenn BC 7,3 Meter misst, misst DE 3,6 Meter und AB misst 6,2 Meter. Wie lang ist AD?
Wir isolieren in der zuvor gezeigten Formel und haben:
7,3 / 3,6 = 6,2 / AD
2,0278 = 6,2 / AD
AD = 3,0575 Meter
Erweiterung des Satzes von Thales
Der Satz von Thales kann auf die Analyse zweier beliebiger Linien erweitert werden, die von anderen parallel zueinander verlaufenden Linien geschnitten werden, wie wir in der folgenden Abbildung sehen:
Dann gilt:
Dies ist wahr, weil wir uns diese Linien als Teil eines Dreiecks vorstellen müssen oder, um es anders zu sehen, wenn wir die Linien AB und CD verlängern, werden sie sich kreuzen. Wir sehen es besser im folgenden Bild:
Thales' zweiter Satzles
Es gibt auch einen zweiten Satz von Thales, nach dem, wenn wir ein Dreieck haben, das aus dem Durchmesser eines Umfangs und zwei ihn schneidenden Linien besteht (sie schneiden die Figur an zwei Punkten), der dem Durchmesser entgegengesetzte Winkel richtig ist, d , , misst 90º.
Es sollte daran erinnert werden, dass ein Durchmesser das Segment ist, das durch die Mitte des Umfangs verläuft und zwei gegenüberliegende Punkte der Figur verbindet.
Wir können das Obige im folgenden Bild besser sehen:
Wir können dieses Theorem überprüfen, indem wir berücksichtigen, dass AC, AD und AB gleich messen und gleich dem Radius des Umfangs sind (der Radius ist jedes Segment, das einen Punkt auf dem Umfang mit dem Mittelpunkt der Figur verbindet und ist gleich halb Durchmesser). Die Dreiecke ABC und ABD sind also gleichschenklig und ihre beiden Seiten, die ähnlich sind, sind entgegengesetzte Winkel, die auch dasselbe messen, dh:
AC = AD = AB = r (Umfangsradius)
γ = β und α = δ
Wenn wir dann das Dreieck CBD sehen und uns daran erinnern, dass die Innenwinkel eines Dreiecks 180º ergeben müssen, haben wir:
γ + β + α + δ = 180º
2β + 2α = 180º
2 (α + β) = 180º
α + β = 90º
Daher ist das CBD-Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck.