Dodekaeder - Was ist das, Definition und Konzept

Das Dodekaeder ist ein Polyeder mit zwölf Flächen, dreißig Kanten und zwanzig Ecken. Es ist eine dreidimensionale Figur, die aus mehreren Polygonen besteht, von denen jedes elf Seiten oder weniger hat.

Das Dodekaeder zeichnet sich dadurch aus, dass es eine feste Figur ist, und nach einigen wissenschaftlichen Untersuchungen könnte es der Darstellung des Universums nahe kommen.

Ein Dodekaeder ist regulär, wenn es aus zwölf regelmäßigen Fünfecken (fünfseitige Vielecke) besteht, wie wir später sehen werden.

Elemente eines Dodekaeders

Die Elemente eines Dodekaeders, die uns aus der folgenden Abbildung leiten, sind:

• Gesichter: Es sind die Seiten des Polyeders, die im Fall des Beispielbildes alle Fünfecke sind, wie das von ABCKQ gebildete und das eine andere Farbe hat.
• Kanten: Es ist das Segment, das die Vereinigung zweier Flächen wie AB oder BC darstellt.
• Scheitelpunkte: Sie sind die Punkte, an denen es einen Vorsprung zu anderen gibt. In der Abbildung wären dies: A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S und T.
• Diederwinkel: Es besteht aus der Vereinigung zweier Gesichter.
• Polyederwinkel: Es ist eine, die von den Seiten gebildet wird, die sich zu einem einzigen Scheitelpunkt der Figur verbinden.

Arten von Dodekaedern

Dodekaeder können nach verschiedenen Kriterien klassifiziert werden. Je nach Form können sie beispielsweise sein:

• Konvex: Wenn zwei beliebige Punkte des Polyeders verbunden werden sollen, kann eine gerade Linie gezeichnet werden, die die Figur nicht verlässt.
• Konkav: Wenn mindestens zwei Punkte des Dodekaeders durch eine Gerade verbunden werden können, die irgendwann die Figur verlässt.

Ebenso können sie je nach Regelmäßigkeit sein:

• Regulär: Alle ihre Gesichter sind einander gleich und sind regelmäßige Fünfecke. Das heißt, deren fünf Seiten gleich messen und auch ihre Innenwinkel gleich sind (siehe Bild oben).
• Irregulär: Sie sind all diejenigen, deren Gesichter unterschiedlich sind, wobei jedes ein Polygon ist, das regelmäßig sein kann oder nicht.

In dem Bild, in dem wir die Elemente des Dodekaeders erklären, zeigen wir einen Fall eines regulären Dodekaeders.

Fläche und Volumen eines Dodekaeders

Um die Fläche eines Dodekaeders zu finden, müssten wir im Allgemeinen die Fläche aller seiner Seiten hinzufügen.

Beschränken wir uns auf den Fall des regulären Dodekaeders, können wir Fläche (A) und Volumen (V) mit den folgenden Formeln berechnen, wobei a die Seite jedes Fünfecks ist, die die Figur bildet:

Dodekaeder-Beispiel

Wenn wir ein regelmäßiges Dodekaeder haben, das aus Fünfecken mit einem Umfang von 30 Metern besteht. Wie groß ist die Fläche und das Volumen des Polyeders?

Zuerst müssen wir finden zu, dividiert den Umfang durch die Anzahl der Seiten, da sie alle gleich sind:

a = 30/5 = 6

Dann wenden wir die oben gezeigten Formeln an: