Das Tetraeder ist ein Polyeder mit vier Flächen, sechs Kanten und vier Ecken. Es ist eine dreidimensionale Figur, die aus mehreren Polygonen besteht, die in diesem Fall Dreiecke sind.
Das Tetraeder zeichnet sich dadurch aus, dass es das einfachste der Polyeder ist und das einzige, das weniger als fünf Seiten hat.
Es ist erwähnenswert, dass ein Tetraeder eine Pyramide mit einer dreieckigen Grundfläche ist.
Elemente eines Tetraeders
Die Elemente eines Tetraeders, die uns aus der folgenden Abbildung leiten, sind:
- Gesichter: Sie sind die Seiten des Tetraeders, die, wie bereits erwähnt, Dreiecke sind (ABC, ADC, ADB und BDC.
- Kanten: Es ist die Vereinigung von zwei Gesichtern: AB, AC, AD, BC, CD und DB.
- Scheitelpunkte: Es sind die Punkte, an denen sich die Kanten treffen: A, B, C und D.
- Diederwinkel: Es wird durch die Vereinigung zweier Gesichter gebildet.
- Polyederwinkel: Es ist eine, die aus den Seiten besteht, die in einem einzigen Scheitelpunkt zusammenfallen.
Fläche und Volumen des Tetraeders
Um die Eigenschaften des Tetraeders zu kennen, können wir berechnen:
- Bereich: Die Fläche der vier Dreiecke, aus denen sich das Polyeder zusammensetzt, müsste addiert werden. In diesem Sinne müssen wir uns daran erinnern, dass die Fläche eines Dreiecks berechnet wird, indem die Basis mit der Höhe multipliziert und durch 2 geteilt wird (A = bxh / 2)
- Volumen: Es würde mit der folgenden Formel berechnet
In der Formel ist b eine beliebige Fläche des Polyeders und h ist die Höhe oder das Segment, das b mit seinem gegenüberliegenden Scheitelpunkt verbindet. Außerdem ist die Höhe senkrecht zur Basis (sie bilden einen rechten Winkel oder der misst 90º).
Regelmäßiges Tetraeder
Wenn alle Dreiecke, aus denen das Tetraeder besteht, gleichseitige Dreiecke sind, haben wir es mit einem regelmäßigen Tetraeder zu tun. Das heißt, es handelt sich um ein regelmäßiges Polyeder, dessen Flächen alle gleich sind und jedes auch ein regelmäßiges Vieleck ist.
An dieser Stelle müssen wir uns daran erinnern, dass ein regelmäßiges Vieleck eines ist, bei dem alle Seiten die gleiche Länge haben und auch ihre Innenwinkel alle gleich sind.
Denken Sie daran, dass die Fläche (A) eines gleichseitigen Dreiecks mit der Heron-Formel berechnet werden kann, wobei a, b und c die Maße der Seiten sind und s der Halbumfang ist, der der Umfang (P) zwischen zwei ist.
Dann ja:
P = a + b + c = a + a + a = 3a
Wir müssen:
Da es dann vier Dreiecke gibt, multiplizieren wir die Fläche jedes einzelnen mit 4, um die Fläche des Tetraeders (AT) zu ermitteln:
Um das Volumen zu berechnen, müssen wir hingegen die Höhe des Polyeders ermitteln. Dazu lassen wir uns von folgendem Bild leiten:
Zuerst berechnen wir die Höhe (h) der Basis (in diesem Beispiel das Dreieck ABC), das ist das Segment EB. Der Winkel X misst 90º, daher muss der Satz des Pythagoras erfüllt sein, und die Hypotenuse (BA), die a misst (die Länge aller Kanten in diesem Tetraeder), ist gleich der Summe jedes Quadrats jedes Beins. Eines der Beine ist EA, es ist die Mitte des Segments AC (E schneidet die Seite in zwei gleiche Teile) und misst a / 2. Auch das zweite Bein ist die Höhe der Basis (h oder EB).
Dann ist nach der Eigenschaft des regulären Tetraeders, wobei F der Mittelpunkt des Dreiecks ist, EF ein Drittel des Segments EB, also ein Drittel von h.
Im nächsten Schritt, um die Höhe des Tetraeders (DF) zu bestimmen, können wir wieder den Satz des Pythagoras anwenden, denn da die Höhe senkrecht ist, ist der Winkel Y richtig (er misst 90º).
Betrachtet man das Dreieck DEF, so ist die Hypotenuse DE, das ist die Höhe des Dreiecks ADC, und da alle Flächen gleich sind, hat es die gleiche Höhe h des Dreiecks ABC. Ein Bein wiederum ist die Höhe des Tetraeders (DF), das wir ht nennen, und das andere Bein ist das Segment EF, das wir bereits berechnet haben. Deshalb:
Um schließlich das Volumen des Tetraeders (V) zu ermitteln, multiplizieren wir, wie bereits erläutert, die Höhe der Figur (ht) mit der oben berechneten Fläche der Basis (A) und dividieren sie durch drei:
Tetraeder-Beispiel
Angenommen, ein Tetraeder ist regelmäßig und jede Seite seiner Flächen beträgt 20 Meter. Wie groß ist die Fläche (AT) und das Volumen (V) der Figur?
