Eine Binomialverteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl der Erfolge bei der Durchführung von n unabhängigen Experimenten mit einer Zufallsvariablen beschreibt..
Es gibt eine große Vielfalt von Experimenten oder Ereignissen, die unter dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung charakterisiert werden können. Stellen Sie sich einen Münzwurf vor, bei dem wir das Ereignis "Kopf schlagen" als Erfolg definieren. Wenn wir die Münze fünfmal werfen und die Treffer (Kopf) zählen, die wir erhalten, würde unsere Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Binomialverteilung entsprechen.
Daher wird die Binomialverteilung als eine Reihe von Tests oder Versuchen verstanden, bei denen wir nur 2 Ergebnisse (Erfolg oder Misserfolg) haben können, wobei Erfolg unsere Zufallsvariable ist.
Eigenschaften der Binomialverteilung
Damit eine Zufallsvariable einer Binomialverteilung folgt, muss sie die folgenden Eigenschaften erfüllen:
- In jedem Versuch, Experiment oder Test sind nur zwei Ergebnisse (Erfolg oder Misserfolg) möglich.
- Die Erfolgswahrscheinlichkeit muss konstant sein. Dies wird durch den Buchstaben p dargestellt. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Münze den Kopf wirft, beträgt 0,5 und ist konstant, da sich die Münze in jedem Experiment nicht ändert und die Wahrscheinlichkeiten für einen Kopf konstant sind.
- Auch die Ausfallwahrscheinlichkeit muss konstant sein. Dies wird durch den Buchstaben q = 1-p dargestellt. Es ist wichtig zu beachten, dass wir mit Hilfe dieser Gleichung, wenn wir p oder q kennen, diejenige erhalten können, die uns fehlt.
- Das in jedem Experiment erhaltene Ergebnis ist unabhängig vom vorherigen. Daher hat das, was in jedem Experiment passiert, keinen Einfluss auf die folgenden.
- Die Ereignisse schließen sich gegenseitig aus, das heißt, sie können nicht beide gleichzeitig auftreten. Es ist nicht möglich, gleichzeitig Mann und Frau zu sein oder dass beim Werfen einer Münze Kopf und Zahl gleichzeitig herauskommen.
- Die Ereignisse sind kollektiv erschöpfend, das heißt, mindestens eines der beiden Ereignisse muss eintreten. Wenn Sie kein Mann sind, sind Sie eine Frau, und wenn Sie eine Münze werfen, die nicht mit Kopf erscheint, muss es Zahl sein.
- Die Zufallsvariable, die einer Binomialverteilung folgt, wird normalerweise als X ~ (n, p) dargestellt, wobei n die Anzahl der Versuche oder Experimente und p die Erfolgswahrscheinlichkeit darstellt.
Formel der Binomialverteilung
Die Formel zur Berechnung der Normalverteilung lautet:
Wo:
n = Anzahl Versuche / Experimente
x = Anzahl der Erfolge
p = Erfolgswahrscheinlichkeit
q = Ausfallwahrscheinlichkeit (1-p)
Es ist wichtig zu beachten, dass der Ausdruck in eckigen Klammern kein Matrixausdruck ist, sondern das Ergebnis einer Kombination ohne Wiederholung ist. Dies erhält man mit folgender Formel:
Das Ausrufezeichen im vorhergehenden Ausdruck steht für das Fakultätssymbol.
Beispiel für eine Binomialverteilung
Stellen wir uns vor, 80 % der Menschen auf der Welt haben das Endspiel der letzten Fußball-Weltmeisterschaft gesehen. Nach der Veranstaltung treffen sich 4 Freunde zum Gespräch, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 3 von ihnen das Spiel gesehen haben?
Lassen Sie uns die Variablen des Experiments definieren:
n = 4 (ist die Gesamtstichprobe, die wir haben)
x = Anzahl der Erfolge, die in diesem Fall gleich 3 sind, da wir nach der Wahrscheinlichkeit suchen, dass 3 der 4 Freunde es gesehen haben.
p = Erfolgswahrscheinlichkeit (0,8)
q = Ausfallwahrscheinlichkeit (0,2). Dieses Ergebnis erhält man durch Subtraktion von 1-p.
Nachdem wir alle unsere Variablen definiert haben, ersetzen wir einfach die Formel.
Der Zähler der Fakultät würde durch Multiplikation von 4 * 3 * 2 * 1 = 24 erhalten und im Nenner hätten wir 3 * 2 * 1 * 1 = 6. Daher wäre das Ergebnis der Fakultät 24/6 = 4 .
Außerhalb der Klammer haben wir zwei Zahlen. Die erste wäre 0,8 3 = 0,512 und die zweite 0,2 (da 4-3 = 1 und jede auf 1 angehobene Zahl gleich ist).
Daher wäre unser Endergebnis: 4 * 0,512 * 0,2 = 0,4096. Wenn wir mit 100 multiplizieren, haben wir eine Wahrscheinlichkeit von 40,96 %, dass 3 der 4 Freunde das WM-Finale gesehen haben.
