Das Sankt Petersburger Paradoxon ist ein von Nicolaus Bernoulli beobachtetes Paradoxon, das seinen Grund im Glücksspiel hat. Dieses Paradox sagt uns, dass in der Entscheidungstheorie alle Wetten zugelassen werden, unabhängig von ihrem Wert, auch wenn dieser Wert uns zeigt, dass es sich nicht um eine rationale Entscheidung handelt.
Das St. Petersburger Paradoxon war für uns, um es richtig zu verstehen, ein Paradoxon, das Nicolaus Bernoulli nach der Beobachtung des Glücksspiels beschrieben hat, weshalb dieses Paradoxon existiert.
SpieltheorieIn diesem Sinne sagt uns das Paradox, dass die Theorie der formulierten Entscheidungen uns zeigt, dass die rationale Entscheidung in einem Wettspiel alles ist, ungeachtet des Betrags, den jede Wette voraussetzt. Bei richtiger Analyse dieser Situation und genauer Betrachtung der Theorie stellen wir jedoch fest, dass kein rationales Wesen die Entscheidung treffen würde, einen Geldbetrag nahe der Unendlichkeit zu setzen, obwohl die Theorie darauf hinweist, dass dies rational ist. Aus diesem Grund entsteht das Paradox.
Das Paradoxon wird zunächst von Nicolaus Bernoulli beobachtet, wie es in einem Brief von ihm an Pierre de Montmort, einen französischen Aristokraten und Mathematiker, vom 9. September 1713 erscheint.
Da Nicolaus' Studie jedoch keine Ergebnisse brachte, präsentierte er das Paradoxon 1715 seinem Cousin Daniel Bernoulli, einem Mathematiker niederländischer Herkunft und Rektor der Universität Basel, der sich in Sankt Petersburg mit einer prominenten Gruppe von Wissenschaftlern traf und danach Jahre der Forschung, veröffentlichte 1738 in seinem Werk „Auslegung einer neuen Theorie in der Risikomessung“ ein neues Messsystem.
Das von Daniel vorgeschlagene Modell legt im Gegensatz zu dem von Nicolaus vorgeschlagenen die Grundlage dafür, was später die Theorie des erwarteten Nutzens verfeinern und vervollständigen sollte.
St. Petersburger Paradoxformel
Die von Nicolaus Bernoulli seinem Cousin und Pierre de Montmort vorgeschlagene Formulierung lautet wie folgt:
Stellen wir uns ein Glücksspiel vor, bei dem der Spieler natürlich eine Summe zahlen muss, um teilzunehmen.
Angenommen, der Spieler setzt auf Zahl und wirft die Münze nacheinander bis Zahl. Nach Zahl wird das Spiel gestoppt und der Spieler bekommt $ 2 n.
Wenn also Zahl ist, gewinnt der Spieler zuerst 2 1, was 2 $ entspricht. Aber wenn es wieder Zahl ist, bekommt es 2 2, also 4 $ und so weiter. Wenn es wieder herauskommt, sind es 8 Dollar, was 2 3 entspricht; während, wenn es ein viertes Mal herauskommt, der Preis 16 Dollar beträgt, was die Darstellung 2 4 ist.
Die Frage von Nicolaus lautete daher: Wie viel wäre der Spieler unter Berücksichtigung der oben genannten Reihenfolge und des Gewinns bereit, für dieses Spiel zu zahlen, ohne an Rationalität zu verlieren?
Beispiel für das St. Petersburger Paradox
Betrachten wir die von Nicolaus vorgeschlagene Formulierung und die Zweifel, die er dem französischen Mathematiker und seinem Cousin entgegenbrachte, sehen wir uns beispielhaft den Grund für dieses Paradox an, um zu verstehen, was wir meinen.
Zuallererst müssen wir wissen, dass wir vor Spielbeginn unendlich viele mögliche Ergebnisse haben. Nun, selbst wenn die Wahrscheinlichkeit 1/2 beträgt, werden die Schwänze möglicherweise erst beim 8. Wurf herauskommen.
Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Kreuz beim Wurf k erscheint:
Pk = 1 / 2k
Außerdem beträgt der Gewinn 2k.
In Fortsetzung der Entwicklung bieten die ersten Schwänze des ersten Wurfs einen Gewinn von 21 ($ 2) und einer Wahrscheinlichkeit von 1/2. Zahl beim 2. Versuch hat einen Gewinn von 22 (4 Dollar) und einer Wahrscheinlichkeit von 1/22; wohingegen, wenn beim dritten Versuch Zahl ist, der Spieler einen Gewinn von 2 . hat3 ($ 8) und einer Wahrscheinlichkeit von 1/23. Wie wir sehen können, läuft eine Beziehung, die sich verlängert, solange wir hinzufügen.
Bevor wir fortfahren, sollte beachtet werden, dass wir in der Entscheidungstheorie mathematische Erwartung (EM) oder erwarteten Gewinn eines Spiels nennen, die Summe der Preise, die mit jedem der möglichen Ergebnisse des Spiels verbunden sind, und alle von ihnen gewichtet mit dem Wahrscheinlichkeit, dass jedes dieser Ergebnisse eintritt.
Wenn wir den Ansatz berücksichtigen, der dieses Paradox zeigt, sehen wir, dass beim Spielen die Wahrscheinlichkeit, 2 Dollar zu gewinnen, 1/2 beträgt, aber zusätzlich die Wahrscheinlichkeit, 4 zu gewinnen, 1/4 ist, während die Wahrscheinlichkeit, 8 Dollar zu gewinnen, ist 1/8. Dies, bis Situationen wie der Gewinn von 64 Dollar erreicht werden, wobei die Wahrscheinlichkeit für diesen Fall 1/64 beträgt.
Wenn wir also mit diesen Ergebnissen die mathematische Erwartung oder den erwarteten Gewinn des Spiels berechnen, müssen wir die Gewinne aller möglichen Ergebnisse, gewichtet mit der Wahrscheinlichkeit ihres Eintretens, addieren, so dass das Ergebnis uns eine Unendlichkeit zeigt Wert.
Wenn wir der Theorie der Wahl folgen, sagt uns diese, dass wir jeden Betrag wetten sollten, weil jede Entscheidung für uns günstig ist. Nun, die Tatsache, dass es ein Paradox ist, liegt daran, dass ein Spieler rational nicht auf unbestimmte Zeit wetten wird, selbst wenn die Theorie ihn dazu drängt.
Ein prominentes Paradoxon
Viele Mathematiker haben versucht, das von Bernoulli vorgeschlagene Paradoxon zu entschlüsseln, aber es gibt auch viele, die es nicht lösen konnten.
So gibt es zahlreiche Beispiele, die uns zeigen, wie das Paradoxon von Mathematikern zu lösen versucht wurde, die sich sowohl mit der Struktur des Spiels als auch mit den Entscheidungen des Einzelnen selbst beschäftigt haben. Bis heute können wir jedoch noch keine gültige Lösung finden.
Und um eine Vorstellung von der Komplexität dieses Paradoxons zu bekommen, nehmen wir unter Berücksichtigung der Wahltheorie in diesem Beispiel nach der Berechnung eine unendliche Anzahl von Münzen als möglichen Preis an, die sogar vorausgesetzt, es wäre möglich, wäre es mit dem Geldsystem selbst nicht vereinbar, da es sich um ein Geld handelt, das entgegen dem, was das Paradox besagt, begrenzt ist.
