Mengenalgebra - Was es ist, Definition und Konzept

Mengenalgebra ist ein Studienbereich innerhalb der Mathematik und Logik, der sich auf die Operationen konzentriert, die zwischen Mengen durchgeführt werden können.

Die Mengenalgebra ist ein Teil dessen, was wir als Mengenlehre kennen.

Es sollte daran erinnert werden, dass eine Menge die Gruppierung von Elementen verschiedener Art ist, wie unter anderem Buchstaben, Zahlen, Symbole, Funktionen, geometrische Figuren.

Operationen einstellen

Die wichtigsten Operationen mit Sätzen sind die folgenden:

Union: Die Vereinigung von zwei oder mehr Mengen enthält alle Elemente, die zu mindestens einer dieser Mengen gehören. Es ist mit dem Buchstaben U gekennzeichnet.

A = (9,34,57,6,9)

B = (10,41,57,9,16)

AUB = (9,34,57,6,9,10,41,16)

Überschneidung: Die Schnittmenge von zwei oder mehr Mengen umfasst die Elemente, die diese Mengen gemeinsam haben. Es wird durch das invertierte U (∩) angezeigt. Beispiel:

A = (a, r, t, i, c, o)

B = (i, n, d, ich, c, o)

A∩B = (i, c, o)

Unterschied: Die Differenz eines Satzes zu einem anderen ist gleich den Elementen des ersten Satzes minus den Elementen des zweiten. Sie wird durch das Symbol oder - angezeigt. Anders betrachtet ist x ∈ a A B wenn x ∈ A, aber x ∉ B. Beispiel:

A = (21,34,56,17,7)

B = (78,21,17,36,80)

A-B = (34,56,7)

Ergänzen: Das Komplement einer Menge umfasst alle Elemente, die nicht in dieser Menge enthalten sind (aber zu einer anderen universellen Referenzmenge gehören). Es wird durch das hochgestellte C angezeigt. Beispiel:

A = (3,9,12,15,18)

U (Universum) = Alle Vielfachen von 3, die ganze natürliche Zahlen kleiner als 30 sind.

ZU^C=(6,21,24,27)

Symmetrischer Unterschied: Die symmetrische Differenz zweier Mengen umfasst alle Elemente, die sich in dem einen oder anderen befinden, aber nicht in beiden gleichzeitig. Das heißt, es ist die Vereinigung der Mengen abzüglich ihres Schnitts. Sein Symbol ist Δ. Beispiel:

A = (17.81.99.131.65.32)

B = (11.54.71.65.99.27)

AΔB = (17,81,131,32,11,54,71,27)

Kartesisches Produkt: Es ist eine Operation, die zu einer neuen Menge führt, die als Elemente die geordneten Paare oder Tupel (geordnete Reihen) der Elemente enthält, die zu zwei oder mehr Mengen gehören. Sie sind geordnete Paare, wenn es sich um zwei Mengen handelt, und Tupel, wenn wir mehr als zwei Mengen haben. Beispiel:

A = (8,15,6,51)

B = (x, y)

AxB = ((8, x), (8, y), (15, x), (15, y), (6, x), (6, y), (51, x), (51, y) )

BxA = ((x, 8), (x, 15), (x, 6), (x, 51), (y, 8), (y, 15), (y, 6), (y, 51) )

Gesetze der Mengenalgebra

Die Gesetze der Mengenalgebra lauten wie folgt:

Idempotenz: Die Vereinigung oder der Schnitt einer Menge mit sich selbst ergibt dieselbe Menge:

XUX = X

X∩X = X

Kommutativ: Die Reihenfolge der Faktoren ändert das Ergebnis beim Auffinden der Vereinigung oder der Schnittmenge von Mengen nicht:

XUY = XUY

X∩Y = X∩Y

Verteilend: Die Vereinigung einer Menge X mit der Schnittmenge zweier anderer Mengen Y und Z ist gleich der Schnittmenge der Vereinigung von X und Y mit der Vereinigung von X und Z. Das heißt:

XU (Y∩Z) = (XUY) ∩ (XUZ)

Das gleiche gilt auch, wenn wir die Reihenfolge der Operationen umkehren:

X∩ (YUZ) = (X∩Y) U (X∩Z)

Assoziativ: Die Terme einer Vereinigungs- oder Schnittoperation mehrerer Mengen können undeutlich gruppiert werden, wobei immer das gleiche Ergebnis erzielt wird:

XU (XUY) = (XUY) UZ

X∩ (X∩Y) = (X∩Y) ∩Z

Morgans Gesetz: Das Komplement der Vereinigung zweier Mengen ist gleich dem Schnitt ihrer Komplemente, und das Komplement der Schnittmenge zweier Mengen ist gleich der Vereinigung ihrer Komplemente.

(XUY)^C= X^CY^C

(X∩Y)^C= X^CUy^C

Differenzgesetz: Die Differenz einer Menge zu einer anderen ist gleich dem Schnittpunkt der ersten mit dem Komplement der zweiten:

(X-Y) = X∩Y^C

Ergänzende Gesetze:
- Die Vereinigung einer Menge mit ihrem Komplement entspricht nicht der universellen Menge. XUX^C= U
- Der Schnitt einer Menge mit ihrem Komplement ist gleich der Null- oder leeren Menge. X∩X^C=∅
- Das Komplement des Komplements einer Menge X ist gleich der Menge X. (X^C)^C= X
- Das Komplement der universellen Menge ist gleich der Null- oder leeren Menge. X^C=∅
- Das Komplement der leeren Menge ist gleich der universellen Menge. ∅^C= U