Eine antisymmetrische Matrix ist eine quadratische Matrix, bei der die Elemente außerhalb der Hauptdiagonale symmetrisch gleich sind, die unterhalb der Hauptdiagonale jedoch ein negatives Vorzeichen tragen.
Mit anderen Worten, eine antisymmetrische Matrix ist eine Matrix mit der gleichen Anzahl von Zeilen (n) und Spalten (m) und die Elemente auf beiden Seiten der Hauptdiagonale sind komplementär.
Da die Elemente oberhalb und unterhalb der Hauptdiagonale versetzt sind, sind die Elemente auf der Hauptdiagonale Nullen.
Empfohlener Artikel: asymmetrische Matrix und symmetrische Matrix.
Eigenschaften der antisymmetrischen Matrix
Die Eigenschaften einer antisymmetrischen Matrix sind:
- Quadratische Matrix.
- Symmetrische Matrix + negatives Vorzeichen (-) in den Elementen unterhalb der Hauptdiagonale.
- Elemente der Hauptdiagonalen sind Nullen (0).
Antisymmetrische Matrix
Gegeben eine quadratische Matrix AS,
Wir sehen, wie auf beiden Seiten der Hauptdiagonale dieselben Elemente erscheinen, jedoch mit der Besonderheit, dass die Elemente unterhalb der Hauptdiagonale ein negatives Vorzeichen haben. Außerdem besteht die Hauptdiagonale aus Nullen.
Die antisymmetrische Matrix und Spiegel
Ebenso wie die symmetrische Matrix kann auch die antisymmetrische Matrix am Beispiel des Spiegels verstanden werden.
Wenn wir uns im Spiegel betrachten und unseren rechten Arm heben, werden wir sehen, dass die Person im Spiegel ihren linken Arm hebt. Mit anderen Worten, die Bewegung des Spiegels ergänzt unsere und die Summe beider würde daher Null ergeben.
Wir können die obige Idee wie folgt ausdrücken und folgern:
(Hebe deine Hand Recht) - (Hebe deine Hand links) = 0
(Hebe deine Hand Recht) = (Hebe deine Hand links)
Die Hauptdiagonale wirkt wie ein Spiegel und wir sehen auf beiden Seiten der Hauptdiagonale gegensätzliche Elemente. Die neutrale Funktion (=) wird auf die Hauptdiagonale abgebildet.
Eigentum
- Die transponierte Matrix einer antisymmetrischen Matrix ist gleich der antisymmetrischen Matrix multipliziert mit (-1).
Mit anderen Worten, es wäre, als würde man vor der antisymmetrischen Matrix ein negatives Vorzeichen hinzufügen.
Mathematisch,
Wir sehen, dass wir mit beiden Verfahren zum gleichen Ergebnis kommen: die Matrix transponieren oder mit (-1) der antisymmetrischen Matrix multiplizieren.
Unsymmetrische Matrix vs. Antisymmetrische Matrix vs. Symmetrische Matrix
Das Beispiel des Spiegels im Fall der symmetrischen Matrix reicht aus, um die gleiche Bewegung widerzuspiegeln, dh wenn wir einen Arm heben, können wir einen angehobenen Arm sehen, aber es ist nicht notwendig, anzugeben, was es ist. Im Fall der antisymmetrischen Matrix müssen wir überprüfen, welchen Arm wir im Spiegel sehen und feststellen, ob es sich um eine antisymmetrische Matrix handelt.
Wenn wir einen Arm heben und im Spiegel sehen wir das …
- Derselbe Arm wird aus der Sicht der Person im Spiegel angehoben, dann ist es eine symmetrische Matrix.
- Der gegenüberliegende Arm wird aus der Sicht der Person im Spiegel angehoben, dann ist es eine antisymmetrische Matrix.
- Wenn kein Arm oder mehr als ein Arm angehoben wird, handelt es sich aus Sicht der Person im Spiegel um eine nicht symmetrische Matrix.