Ein stochastischer Prozess ist ein Satz von Zufallsvariablen, der von einem Parameter oder einem Argument abhängt. In der Zeitreihenanalyse ist dieser Parameter die Zeit. Formal ist es als eine Familie von Zufallsvariablen Y definiert, die nach der Zeit t indiziert sind. So hat Y für jeden Wert von t eine gegebene Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Einfacher ausgedrückt ist ein stochastischer Prozess ein Prozess, der nicht vorhergesagt werden kann. Es bewegt sich zufällig. Wie wir später sehen werden, gibt es jedoch verschiedene Arten von stochastischen Prozessen. Eines der klassischsten Beispiele für einen stochastischen Prozess ist der Aktienmarkt.
Trotzdem gibt es Strategien, die hinreichend bewiesen haben, dass der Aktienmarkt kein streng stochastischer Prozess ist. In diesem Fall beziehen wir uns jedoch auf den Aktienmarkt nacheinander. Nicht einmal das beste Vorhersagemodell der Welt könnte vorhersagen, ob der Aktienmarkt jede Sekunde steigen oder fallen wird.
Beispiele für stochastische Prozesse
Im Folgenden sind verschiedene Beispiele für Phänomene aufgeführt, die stochastische Prozesse darstellen.
- Elektrokardiogramm
- Erdbeben
- Das Wetter
- Die konkrete Sekunde eines Spiels, in der ein Spieler ein Tor erzielt
- Anzahl der Menschen, die weltweit ein bestimmtes Wort sagen
Wie wir sehen können, handelt es sich um völlig zufällige Prozesse. Es ist unmöglich zu wissen, in welcher Sekunde ein Spieler ein Tor schießt. Genauso wie es unmöglich ist, genau vorherzusagen, wie das Wetter in einer Region zu einem bestimmten Zeitpunkt sein wird. Und trotz technologischer Fortschritte ist es immer noch unmöglich, ein Erdbeben vorherzusagen. Daher ist es, einmal in stochastische Prozesse eingeführt, notwendig, die existierenden Typen zu beschreiben.
Arten von stochastischen Prozessen
Es gibt zwei Arten von stochastischen Prozessen. Der Unterschied zwischen ihnen hat mit der Vorhersagbarkeit einer Zeitreihe zu tun:
- Stationäre stochastische Prozesse: Es hat eine Reihe von Eigenschaften, die es in gewisser Weise vorhersehbar machen.
- Instationäre stochastische Prozesse: Im Allgemeinen wäre es ein Hit oder Miss.
Stationärer stochastischer Prozess
Ein stationärer stochastischer Prozess ist ein Prozess, dessen Wahrscheinlichkeitsverteilung über einen bestimmten Zeitraum mehr oder weniger konstant variiert. Mit anderen Worten, eine Reihe von Zahlen kann chaotisch erscheinen (und sein), aber Werte innerhalb eines begrenzten Bereichs annehmen. Anhand dieser Informationen können Modelle erstellt werden, die versuchen, die Variable vorherzusagen. Die täglichen Renditen eines finanziellen Vermögenswerts sind ein Beispiel für stationäre stochastische Prozesse. Somit hat die tägliche Rendite des EURUSD, also die tägliche Variation in Prozent, folgende Form:
Dieses Diagramm spiegelt die täglichen prozentualen Renditen des EURUSD seit 1999 wider. Um das Konzept besser zu verstehen, werden wir jedoch nur die letzten 100 Tage anbieten.
Durch Vergrößern des Graphen können wir das Verhalten der Variablen deutlicher sehen. Während der letzten 100 Tage hatte der EURUSD Schwankungen im Bereich von -1% und 1%. Wir können die Variation eines bestimmten Tages nicht vorhersagen, aber wir können den Wertebereich erahnen (nicht bestätigen), zwischen dem die Variable liegen wird.
Instationärer stochastischer Prozess
Ein instationärer stochastischer Prozess ist ein Prozess, dessen Wahrscheinlichkeitsverteilung nicht konstant variiert. Mit anderen Worten, wenn sich eine Reihe von Zahlen völlig chaotisch verhält, könnten wir sagen, dass sie zufällig und nicht stationär ist. Ein Beispiel für einen instationären stochastischen Prozess wäre der Preis des Währungspaars EURUSD.
Wie wir im Bild sehen, ändern sich sowohl die Variabilität als auch der Mittelwert über die Zeit. Wir können nicht vorhersagen, ob der EURUSD steigen oder fallen wird. Es ist seit ein paar Jahren gestiegen und für ebenso viele gefallen. Allein mit der Serie macht es keinen Sinn, die Bewegung vorherzusagen.
Kurz gesagt, ein stochastischer Prozess ist ein zufälliger Prozess. Ein vom Zufall dominierter Prozess. Trotzdem gibt es zwei Arten. Instationäre oder chaotische stochastische Prozesse. Und die stationären stochastischen Prozesse, die aufgrund ihrer Eigenschaften vorhersehbar sind.