Eine transponierte Matrix ist das Ergebnis der Neuordnung der ursprünglichen Matrix, indem Zeilen für Spalten und Spalten für Zeilen in einer neuen Matrix geändert werden.
Mit anderen Worten, die transponierte Matrix ist die Aktion, bei der die Zeilen aus der ursprünglichen Matrix ausgewählt und als Spalten in der neuen Matrix neu geschrieben werden und der Vorgang für die Spalten umgekehrt wird.
Wenn wir die Zeilen für Spalten und die Spalten für Zeilen ändern, geben wir dies im Allgemeinen an, indem wir ein hochgestelltes T oder einen Apostroph in den Namen der ursprünglichen Matrix einfügen. Wenn wir das hochgestellte T hinzufügen, müssen wir berücksichtigen, dass wir mit Matrizen arbeiten und das hochgestellte T kein Exponent ist.
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Formel einer nxm transponierten Matrix
Gegeben eine Matrix Z jeder mit n Zeilen und m Spalten können wir die transponierte Matrix konstruieren, ZT, die m Zeilen und n Spalten haben wird.
Transposition einer quadratischen Matrix
Abhängig von der Typologie der Matrix ändert sich auch die Reihenfolge der Matrix, wenn wir sie transponieren.
Eigenschaften
Gegeben die Matrix Z Bisherige,
- Die Transponierte einer transponierten Matrix ist die Originalmatrix.
- Die transponierte Summe der Matrizen ist gleich der Summe der transponierten Matrizen.
- Das transponierte Produkt einer Konstanten h durch eine Matrix ist gleich dem Produkt der Konstanten h durch die transponierte Matrix.
- Das transponierte Produkt der Matrixmultiplikation ist gleich dem Produkt der transponierten Matrixmultiplikation.
Anwendungen
Transponierte Matrizen sind präsenter als wir denken. In der Ökonometrie finden wir Transpositionen, wenn wir die Matrizen in quadratischer Form ausdrücken. Ebenso die Formel für den Schätzer der Ordinary Least Squares (OLS) in Matrixform:
Theoretisches Beispiel
Finden Sie die Transponierungsmatrix der folgenden Matrizen:
