Der Grund für eine Zahlenfolge ist die Abweichung zwischen zwei ermittelten fortlaufenden Zahlen und deren Berechnung kann je nach Art der Zahlenfolge variieren.
Mit anderen Worten, das Verhältnis einer Zahlenfolge ist die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zahlen, und die Formel ist nicht für alle Zahlenfolgen gleich.
Wir sind es gewohnt, immer aufsteigende Fortschritte zu sehen. Das heißt, Progressionen mit strikt positiven Verhältnissen (größer als 0). Aber wir können auch aus negativen Gründen Progressionen finden oder erschaffen.
Nach dem Zeichen der Vernunft können wir die Verläufe einteilen in:
- Zunehmend eintönig: wenn Verhältnis > 0.
- Monoton abnehmend: wenn Verhältnis <0.
- Konstante: wenn Verhältnis = 0.
Ein Beispiel für eine ständige Weiterentwicklung wäre:
X1 = 5, X2 = 5, X3 = 5, X4 = 5,…, Xnein= 5 → Grund = 0.
Arithmetische und geometrische Progression
Der Hauptunterschied zwischen der arithmetischen Folge und der geometrischen Folge ist die Berechnung des Verhältnisses. Diese Variation wird als Schrittweite oder relative Differenz interpretiert, je nachdem, ob es sich um eine arithmetische oder eine geometrische Folge handelt. Dann,
- Arithmetisches Progressionsverhältnis → Inkrement → Differenz zwischen zwei beliebigen aufeinanderfolgenden Zahlen.
- Geometrisches Progressionsverhältnis → Relative Differenz → Division zwischen zwei beliebigen aufeinanderfolgenden Zahlen.
Es ist wichtig zu beachten, dass das Verhältnis während der gesamten Progression konstant ist, mit anderen Worten, das Verhältnis ist unabhängig von den Zahlen, die wir für die Berechnung auswählen. Glauben Sie es nicht? Wir testeten!
Beispiel
Gegeben sei eine arithmetische Folge der Form X1, X2, …, X40 , finde das Verhältnis zwischen X2 und X1, zwischen X21 und X20 und zwischen X38 und X37.
Das tiefgestellte X gibt die Position der Zahl innerhalb der Sequenz an. Es gibt also 40 Elemente in dieser Progression.
X2 und X1 = X2 - X1 = 3-1 = 2 ← Verhältnis
X21 und X20 = X21 - X20 = 41-39 = 2 ← Verhältnis
X38 und X37 = X38 - X37 = 75-73 = 2 ← Verhältnis
Bei dieser arithmetischen Folge beträgt das Verhältnis 2.
Ein Grund wird für die gesamte Progression immer der gleiche sein. Mit anderen Worten, wenn wir das Verhältnis eines Zahlenpaares und das Verhältnis eines anderen Zahlenpaares berechnen und daraus ein anderes Verhältnis ergibt, dann bedeutet dies, dass wir irgendwann einen Fehler gemacht haben.
Vom ersten Element X1, den Grund finden wir bereits in der Progression:
X1 = X1
X2 = X1 + Grund
X3 = X2 + Grund
Darstellung
Wenn wir alle Zahlen der vorherigen Progression in einem Graphen zusammenfassen und alle Punkte mit einer Linie verbinden, würde ein Graph so aussehen:
Es ist logisch, dass die Steigung der Linie, die den Verlauf bildet, gleich dem Verhältnis ist. Das heißt, während der gesamten Progression konstant und gleich 2. Das Verhältnis ist gleich der Steigung, weil es die Rate ist, mit der die Progression wächst. Diese Progression ist also monoton ansteigend, da das Verhältnis größer als 0 ist.
