Das Taylor-Polynom ist eine polynomielle Approximation einer Funktionnein an einem bestimmten Punkt ableitbare Zeiten.
Mit anderen Worten, das Taylor-Polynom ist eine endliche Summe lokaler Ableitungen, die an einem bestimmten Punkt ausgewertet werden.
Mathematisch
Wir definieren:
f (x): Funktion von x.
f (x0): Die Funktion vonxan einem bestimmten Punkt x0. Formal steht geschrieben:
F(n)(x):nein-te Ableitung der Funktion f (x).
Anwendungen
Die Taylor-Entwicklung wird im Allgemeinen auf Finanzanlagen und Produkte angewendet, deren Preis als nichtlineare Funktion ausgedrückt wird. Der Preis eines kurzfristigen Schuldtitels ist beispielsweise eine nichtlineare Funktion, die von den Zinssätzen abhängt. Ein weiteres Beispiel wären Optionen, bei denen sowohl Risikofaktoren als auch Rentabilität nichtlineare Funktionen sind. Die Berechnung der Duration einer Anleihe ist ein Taylor-Polynom ersten Grades.
Beispiel für ein Taylor-Polynom
Wir wollen die zweite Ordnung der Taylor-Approximation der Funktion f (x) an einem Punkt x . finden0=1.
1. Wir bilden die relevanten Ableitungen der Funktion f (x).
In diesem Fall fragen sie uns bis zur zweiten Ordnung, also machen wir die erste und zweite Ableitung der Funktion f (x):
- Erste Ableitung:
- Zweite Ableitung:
2. Wir ersetzen x0= 1 in f (x), f '(x) und f' '(x):
3. Sobald wir den Wert der Ableitungen im Punkt x . haben0= 1, ersetzen wir es in der Taylor-Näherung:
Wir fixieren das Polynom ein wenig:
Werte prüfen
Die Taylor-Approximation wird angemessen sein, je näher an x0 die Werte sein. Um dies zu überprüfen, ersetzen wir Werte nahe x0 sowohl in der ursprünglichen Funktion als auch in der obigen Taylor-Approximation:
Wenn x0=1
Ursprüngliche Funktion:
Taylor-Näherung:
Wenn x0=1,05
Ursprüngliche Funktion:
Taylor-Näherung:
Wenn x0=1,10
Ursprüngliche Funktion:
Taylor-Näherung:
Im ersten Fall, wenn x0= 1, sehen wir, dass sowohl die ursprüngliche Funktion als auch die Taylor-Approximation uns das gleiche Ergebnis liefern. Dies liegt an der Zusammensetzung des Taylor-Polynoms, das wir mit den lokalen Ableitungen erstellt haben. Diese Ableitungen wurden an einem bestimmten Punkt ausgewertet, x0= 1, um einen Wert zu erhalten und das Polynom zu erstellen. Je weiter von diesem Punkt entfernt, x0= 1, desto weniger geeignet ist die Näherung für die ursprüngliche nichtlineare Funktion. In den Fällen, in denen x0= 1,05 und x0= 1,10 gibt es einen signifikanten Unterschied zwischen dem Ergebnis der Originalfunktion und der Taylor-Approximation.
Aber… der Unterschied ist sehr gering, nicht wahr?
Taylor-Polynomdarstellung
Wenn wir die Extreme erweitern (wobei sich die Näherung von x0=1):
Auf den ersten Blick mag es unbedeutend erscheinen, aber wenn wir an der Grafik arbeiten und Näherungen machen, ist es sehr wichtig, mindestens die ersten vier Nachkommastellen zu berücksichtigen. Grundlage der Näherungen ist die Präzision.