Die Standardabweichung oder Standardabweichung ist ein Maß, das Auskunft über die mittlere Streuung einer Variablen gibt. Die Standardabweichung ist immer größer oder gleich Null.
Um dieses Konzept zu verstehen, müssen wir 2 grundlegende Konzepte analysieren.
- Mathematischer Erwartungswert, Erwartungswert oder Mittelwert: Es ist der Mittelwert unserer Datenreihen.
- Abweichung: Die Abweichung ist der Abstand, der zwischen einem beliebigen Wert der Reihe und dem Mittelwert besteht.
Wenn Sie nun diese beiden Konzepte verstehen, wird die Standardabweichung ähnlich wie der Mittelwert berechnet. Aber Abweichungen als Werte nehmen. Und obwohl diese Argumentation intuitiv und logisch ist, hat sie einen Fehler, den wir mit der folgenden Grafik überprüfen werden.
Im vorherigen Bild haben wir 6 Beobachtungen, d. h. N = 6. Der Mittelwert der Beobachtungen wird durch die schwarze Linie in der Mitte des Diagramms dargestellt und beträgt 3. Unter Abweichung verstehen wir die Differenz zwischen allen der Beobachtungen und der schwarzen Linie. Wir haben also 6 Abweichungen.
- Abweichung -> (2-3) = -1
- Abweichung -> (4-3) = 1
- Abweichung -> (2-3) = -1
- Abweichung -> (4-3) = 1
- Abweichung -> (2-3) = -1
- Abweichung -> (4-3) = 1
Wie wir sehen können, wenn wir die 6 Abweichungen addieren und durch N (6 Beobachtungen) dividieren, ist das Ergebnis Null. Die Logik wäre, dass die mittlere Abweichung 1 beträgt. Eine mathematische Eigenschaft des Mittelwerts in Bezug auf die Werte, aus denen er besteht, ist jedoch genau, dass die Summe der Abweichungen null ist. Wie beheben wir das? Quadrieren der Abweichungen
RangFormeln zur Berechnung der Standardabweichung
Die erste besteht darin, die Abweichungen zu quadrieren, durch die Gesamtzahl der Beobachtungen zu dividieren und schließlich die Quadratwurzel zu ziehen, um das Quadrat rückgängig zu machen, so dass:
Alternativ gibt es eine andere Möglichkeit, es zu berechnen. Es wäre ein Durchschnitt der Summe der Absolutwerte der Abweichungen. Das heißt, wenden Sie die folgende Formel an:
Diese Formel ist jedoch keine Alternative zur Standardabweichung, da sie andere Ergebnisse liefert. Tatsächlich ist die obige Formel die Abweichung vom Mittelwert. Die Standard- oder Standardabweichung und die Abweichung vom Mittelwert haben Ähnlichkeiten, sind aber nicht gleich. Diese letzte Form wird als mittlere Abweichung bezeichnet.
Beispiel für die Berechnung der Standardabweichung
Wir werden prüfen, wie bei jeder der beiden vorgestellten Formeln das Ergebnis der Standardabweichung oder der mittleren Abweichung gleich ist.
Nach der Varianzformel (Quadratwurzel):
Nach der Absolutwertformel:
So wie es die intuitive Berechnung vorschreibt. Die mittlere Abweichung ist 1. Aber haben wir nicht gesagt, dass die Formel für den Absolutwert und die Standardabweichung unterschiedliche Werte ergeben? Ja, aber es gibt eine Ausnahme. Der einzige Fall, in dem die Standardabweichung und die Abweichung vom Mittelwert das gleiche Ergebnis ergeben, ist der Fall, in dem alle Abweichungen gleich 1 sind.
Das Verhältnis der Standardabweichung zur Varianz
Kurz gesagt, die Varianz ist nichts anderes als das Quadrat der Standardabweichung. Oder was auf dasselbe hinausläuft, die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz. Sie sind wie folgt verwandt:
Nach diesem Bild ist klar, dass die gesamte Formel, die innerhalb der Quadratwurzel liegt, die Varianz ist. Der Grund, warum Sie verstehen müssen, dass dieser Teil als Varianz bezeichnet wird, liegt darin, dass er in anderen Formeln verwendet wird, um andere Kennzahlen zu berechnen. Obwohl die Standardabweichung intuitiver zu interpretieren ist, ist es jedoch unerlässlich, wie die Varianz berechnet wird.