Eine inverse Matrix ist die lineare Transformation einer Matrix durch Multiplizieren des Inversen der Determinante der Matrix mit der adjungierten transponierten Matrix.
Mit anderen Worten, eine inverse Matrix ist die Multiplikation der Inversen der Determinante mit der transponierten adjungierten Matrix.
Empfohlene Artikel: Determinante einer Matrix, quadratische Matrix, Hauptdiagonale und Operationen mit Matrizen.
Gegeben eine beliebige Matrix X mit
Inverse Matrixformel einer Matrix der Ordnung 2
Dann ist die inverse Matrix von X
Mit dieser Formel erhalten wir die inverse Matrix einer quadratischen Matrix der Ordnung 2.
Die obige Formel kann auch durch die Determinante der Matrix ausgedrückt werden.
Inverse Matrixformel einer Matrix der Ordnung 2
Die beiden parallelen Linien um X im Nenner zeigen an, dass es die Determinante der Matrix X ist.
Wenn eine quadratische Matrix eine inverse Matrix hat, sagen wir, dass sie eine reguläre Matrix ist.
Bedarf
Um die inverse Matrix einer Matrix der Ordnung n zu finden, müssen wir die folgenden Anforderungen erfüllen:
- Die Matrix muss eine quadratische Matrix sein.
Die Anzahl der Zeilen (n) muss gleich der Anzahl der Spalten (m) sein. Das heißt, die Ordnung der Matrix muss n sein, wenn n = m gilt.
- Die Determinante muss ungleich Null (0) sein.
Die Determinante der Matrix muss ungleich Null (0) sein, da sie als Nenner an der Formel teilnimmt. Wenn der Nenner eine Null (0) wäre, hätten wir eine Unbestimmtheit.
Wenn der Nenner (ad - bc) = 0 ist, dh die Determinante der Matrix X gleich Null (0) ist, dann hat Matrix X keine inverse Matrix.
Eigentum
Eine quadratische Matrix X der Ordnung n hat eine inverse Matrix X der Ordnung n, X-1, so dass es das erfüllt
Die Reihenfolge der Elemente der Multiplikation ist nicht relevant, dh die Multiplikation einer beliebigen quadratischen Matrix mit ihrer inversen Matrix führt immer zu einer Identitätsmatrix derselben Ordnung.
In diesem Fall ist die Ordnung der Matrix X 2. Wir können die vorherige Eigenschaft also umschreiben als:
Praxisbeispiel
Finden Sie die inverse Matrix der Matrix V.
Um dieses Beispiel zu lösen, können wir die Formel anwenden oder zuerst die Determinante berechnen und dann ersetzen.
Formel
Formel mit Determinante
Wir berechnen zunächst die Determinante der Matrix V und setzen sie dann in die Formel ein.
Wir erhalten also, dass die Determinante der Matrix V von Null (0) verschieden ist und wir können sagen, dass die Matrix V eine inverse Matrix hat.
Wir erhalten das gleiche Ergebnis, indem wir die Formel verwenden oder zuerst die Determinante berechnen und dann ersetzen.
Die Reihenfolge der inversen Matrix ist die gleiche wie die Reihenfolge der ursprünglichen Matrix. In diesem Fall haben wir die gleiche Anzahl von Zeilen n und Spalten m in beiden Matrix V und V-1.
Transponierte Matrix