Die mathematische Erwartung einer Zufallsvariablen X ist die Zahl, die den Mittelwert des Phänomens ausdrückt, das diese Variable repräsentiert.
Der mathematische Erwartungswert, auch Erwartungswert genannt, ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten, dass ein Zufallsereignis existiert, multipliziert mit dem Wert des Zufallsereignisses. Mit anderen Worten, es ist der Mittelwert eines Datensatzes. Dies unter Berücksichtigung der Tatsache, dass der Begriff der mathematischen Erwartung von der Wahrscheinlichkeitstheorie geprägt ist.
In der Mathematik wird der Durchschnittswert eines aufgetretenen Ereignisses als mathematischer Mittelwert bezeichnet. Bei diskreten Verteilungen mit gleicher Wahrscheinlichkeit in jedem Ereignis ist das arithmetische Mittel gleich dem mathematischen Erwartungswert.
Beispiel für mathematische Erwartung
Sehen wir uns ein einfaches Beispiel an, um es zu verstehen.
Stellen wir uns eine Münze vor. Zwei Köpfe, Köpfe und Schwänze. Was wäre die mathematische Erwartung (erwarteter Wert), dass Kopf herauskommt?
Die mathematische Erwartung würde als die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass die Münze bei einer sehr hohen Anzahl von Malen Kopf ergibt.
Da die Münze nur in einer dieser beiden Positionen landen kann und beide die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, herauszukommen, werden wir sagen, dass die mathematische Erwartung, dass sie Kopf herauskommt, eins von zwei ist, oder was gleich ist, 50% von die Zeit.
Wir machen einen Test und werfen 10 Mal eine Münze. Angenommen, die Münze ist perfekt.
Drehungen und Ergebnis:
- Teuer.
- Kreuz.
- Kreuz.
- Teuer.
- Kreuz.
- Teuer.
- Teuer.
- Teuer.
- Kreuz.
- Kreuz.
Wie oft waren es schon Köpfe (wir zählen die Cs)? 5 mal Wie oft sind die Schwänze herausgekommen (wir zählen die X)? 5 mal. Die Wahrscheinlichkeit, Kopf zu sein, beträgt 5/10 = 0,5 oder prozentual 50 %.
Sobald dieses Ereignis eingetreten ist, können wir den mathematischen Mittelwert der Häufigkeit berechnen, mit der jedes Ereignis aufgetreten ist. Die teure Seite kommt jedes zweite Mal heraus, d. h. 50 % der Zeit. Der Mittelwert entspricht der mathematischen Erwartung.
Berechnung der mathematischen Erwartung
Die mathematische Erwartung wird unter Verwendung der Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses berechnet. Die Formel, die diese Berechnung formalisiert, lautet wie folgt:
Wo:
- X = Ereigniswert.
- P = Eintrittswahrscheinlichkeit.
- ich = Zeitraum, in dem dieses Ereignis auftritt.
- Nein = Gesamtzahl der Perioden oder Beobachtungen.
Die Eintrittswahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist nicht immer gleich wie bei Münzen. Es gibt unzählige Fälle, in denen ein Ereignis mit größerer Wahrscheinlichkeit herauskommt als ein anderes. Deshalb verwenden wir P. In der Formel müssen wir bei der Berechnung mathematischer Zahlen auch mit dem Wert des Ereignisses multiplizieren. Unten sehen wir ein Beispiel.
Wozu dient die mathematische Erwartung?
Die mathematische Erwartung wird in all jenen Disziplinen verwendet, in denen ihnen das Vorhandensein probabilistischer Ereignisse inhärent ist. Disziplinen wie theoretische Statistik, Quantenphysik, Ökonometrie, Biologie oder Finanzmärkte. Eine Vielzahl von Prozessen und Ereignissen, die in der Welt auftreten, sind ungenau. Ein klares und leicht verständliches Beispiel ist die Börse.
An der Börse wird alles nach Erwartungswerten berechnet Warum Erwartungswerte? Denn es ist das, was wir hoffen, aber wir können es nicht bestätigen. Alles basiert auf Wahrscheinlichkeiten, nicht auf Gewissheiten. Wenn der Erwartungswert oder die rechnerische Renditeerwartung eines Vermögenswerts 10 % pro Jahr beträgt, bedeutet dies, dass die Rendite nach unseren Informationen aus der Vergangenheit am wahrscheinlichsten wieder bei 10 % liegt. Wenn wir natürlich nur die mathematische Erwartung als Methode für unsere Anlageentscheidungen berücksichtigen.
Innerhalb der Finanzmarkttheorien verwenden viele dieses Konzept der mathematischen Erwartung. Zu diesen Theorien gehört die, die Markowitz über effiziente Geldbörsen entwickelt hat.
In Zahlen, stark vereinfacht, nehmen wir an, dass die Renditen eines finanziellen Vermögenswerts wie folgt aussehen:
Rentabilität in den Jahren 1, 2, 3 und 4.
- 12%.
- 6%.
- 15%
- 12%
Der Erwartungswert wäre die Summe der Renditen multipliziert mit ihrer Eintrittswahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit, dass jede Rentabilität „eintrifft“, beträgt 0,25. Wir haben vier Beobachtungen, vier Jahre. Jedes Jahr haben sie die gleiche Wahrscheinlichkeit, sich zu wiederholen.
Hoffnung = (12 x 0,25) + (6 x 0,25) + (15 x 0,25) + (12 x 0,25) = 3 + 1,5 + 3,75 + 3 = 11,25%
Unter Berücksichtigung dieser Informationen werden wir sagen, dass die Renditeerwartung des Vermögenswerts 11,25% beträgt.
Lebenserwartung