Das gleichschenklige Trapez ist eines, bei dem seine beiden nicht parallelen Seiten, die die beiden Basen der Figur verbinden, die gleiche Länge haben.
Es sollte daran erinnert werden, dass ein Trapez ein Viereck (vierseitiges Polygon) ist, das dadurch gekennzeichnet ist, dass es zwei Seiten hat, die als Basen bezeichnet werden. Diese sind parallel (sie kreuzen sich nicht, auch nicht wenn sie verlängert sind) und unterschiedlich lang. Außerdem sind die anderen beiden Seiten nicht parallel.
Das gleichschenklige Trapez ist neben dem rechten Trapez und dem Skalenus-Trapez eine von drei Arten von Trapezoiden.
Eigenschaften des gleichschenkligen Trapezes
Unter den Merkmalen des gleichschenkligen Trapezes stechen folgende hervor:
- In der Abbildung unten sind die Seiten AB und CD gleich lang, wenn das Trapez gleichschenklig ist.
- Die beiden Innenwinkel, die sich auf derselben Basis befinden, messen dasselbe. Wenn wir uns vom Bild unten leiten lassen, wäre Folgendes wahr: α = β und δ = γ.
- Die Diagonalen in der Abbildung, AC und DB, sind gleich lang.
- Die gegenüberliegenden Innenwinkel sind ergänzend. Das heißt, sie bilden einen geraden Winkel. Im unteren Bild wäre folgendes zu beobachten: α + γ = α + δ = β + δ = β + γ = 180º.
- Zwei seiner Innenwinkel sind spitz (weniger als 90º), während die anderen beiden stumpf sind (größer als 90º). In der Abbildung unten sind also α und β stumpf, während δ und γ spitz sind.
- Die vier Innenwinkel ergeben zusammen 360º.
- Das gleichschenklige Trapez ist die einzige Trapezform, die einem Umfang eingeschrieben werden kann. Das heißt, seine vier Eckpunkte können durch den Umfang eines Kreises verlaufen (siehe Zeichnung unten).
- Es hat eine Symmetrieachse, die die EF-Linie im Bild unten wäre. Dies ist senkrecht zu den Basen (bildet einen rechten oder 90º-Winkel) und schneidet sie in ihrer Mitte. Somit wird das Polygon beim Zeichnen der Achse in zwei symmetrische Teile geteilt. Das heißt, jeder Punkt auf einer Seite entspricht einem Punkt auf der anderen Seite, wobei beide gleich weit von der Symmetrieachse entfernt sind. Der Abstand zwischen Punkt B und Punkt F ist beispielsweise derselbe Abstand wie zwischen Punkt F und Punkt C.
Umfang und Fläche des gleichschenkligen Trapezes
Um die Eigenschaften eines gleichschenkligen Trapezes besser zu verstehen, können wir die folgenden Maße berechnen:
- Umfang: Wir addieren die Länge jeder Seite der Figur: P = AB + BC + CD + AD.
- Bereich: Wie bei jedem Trapez werden zur Ermittlung seiner Fläche die Basen addiert, durch zwei geteilt und mit der Höhe multipliziert. Wie in der folgenden Formel angegeben:
Um nun die Höhe zu berechnen, können wir zwei Höhen von den Eckpunkten A und D zeichnen, wie wir in der folgenden Abbildung sehen können:
Wir haben also das Dreieck ADFG; wobei AD gleich FG ist und die an den Seiten gebildeten Dreiecke kongruent sind. Daher ist BF dasselbe wie GC. Wir nehmen an, dass beide Maß zu.
Daher wäre es richtig:
Nun stellen wir fest, dass die seitlich gebildeten Dreiecke rechtwinklige Dreiecke sind, sodass der Satz des Pythagoras angewendet werden kann. Im Dreieck ABF zum Beispiel ist AB die Hypotenuse, während AF (die Höhe, die wir h nennen werden) und BF die Beine sind.
Wir müssen auch bedenken, dass AB gleich DC ist. Wenn wir also das Obige in der Formel für die Fläche ersetzen, erhalten wir die Fläche als Funktion der Seiten des Trapezes:
Eine andere Möglichkeit, die Fläche eines Trapezes zu berechnen, besteht darin, die Diagonalen zu multiplizieren, durch zwei zu dividieren und mit dem Sinus des Winkels zu multiplizieren, den sie bilden, wenn sie sich schneiden, wobei zu beachten ist, dass beide Diagonalen gleich sind:
Es ist erwähnenswert, dass am Schnittpunkt der Diagonalen die gegenüberliegenden Winkel gleich sind und ihr Nachbarwinkel ihr zusätzlicher Winkel ist.
In dem Wissen, dass der Sinus eines Winkels gleich dem Sinus seines Zusatzwinkels ist, kann jeder der Winkel am Schnittpunkt der Diagonalen gewählt werden.
Zusammenfassend gilt im Bild unten: α = γ, β = δ und α + β = γ + δ = α + δ = β + γ = 180º
Um die Diagonale zu finden, können wir folgende Formel verwenden:
Daher wäre der Bereich:
Beispiel für gleichschenkliges Trapez
Stellen wir uns vor, wir haben ein Trapez mit Grundflächen von 4 und 8 Metern, während die nicht parallelen Seiten jeweils 3,6 Meter messen, beide gleich sind (das Trapez ist also gleichschenklig), wie lang ist der Umfang (P), die Fläche ( A) und die Diagonale (D) der Figur?
