In diesem Beitrag erklären wir die Eigenschaften der Student-t-Verteilung.
Mit anderen Worten, die t-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die den Mittelwert einer kleinen Stichprobe schätzt, die aus einer Grundgesamtheit gezogen wird, die einer Normalverteilung folgt, deren Standardabweichung wir nicht kennen.
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Geschichte
William Sealy Gosset (1876-1937) musste 1908 eine Verteilung erstellen, die ihm bei statistischen Berechnungen zu Guinness-Bieren in Irland helfen sollte. Da die Ergebnisse mit privaten Daten der Brauerei veröffentlicht werden mussten, um die Anwendbarkeit der neuen Distribution nachzuweisen, untersagte das Unternehmen seinen Mitarbeitern die Veröffentlichung vertraulicher Informationen. Diese Einschränkung hinderte Gosset nicht daran, seinen Befund unter dem Pseudonym zu veröffentlichen Schüler. Von diesem Moment an wird die t-Verteilung als Student-t-Verteilung erkannt.
Eigenschaften der Student-t-Verteilung
Die Eigenschaften der Student-t-Verteilung sind wie folgt:
- Es handelt sich um eine symmetrische Verteilung. Der Wert von Mittelwert, Median und Modus stimmen überein. Mathematisch,
Maße der zentralen Tendenz
- Es handelt sich um eine unimodale Verteilung. Die Werte, die häufiger auftreten oder mit größerer Wahrscheinlichkeit auftreten (Modus), liegen um den Mittelwert. Wenn wir uns vom Mittelwert entfernen, nimmt die Wahrscheinlichkeit des Auftretens der Werte und deren Häufigkeit ab.
- Wenn wir eine Stichprobe der Größe n haben, haben wir eine t-Verteilung mit (n-1) Freiheitsgraden.
Mit anderen Worten, die Verteilung weist auf beiden Seiten des Zentralwerts die gleiche Anzahl von Beobachtungen auf.
- Die Dichtefunktion hängt nicht von den Freiheitsgraden ab, um symmetrisch zu sein.
- Die grafische Darstellung sieht aus wie die Normalverteilung, ist also auch glockenförmig.
- Der mittlere oder mittlere Wert ist Null (0).
- Je stärker die Freiheitsgrade zunehmen, desto ähnlicher ist die t-Verteilung der Normalverteilung.
Normalverteilung vs. t-Verteilung
Die t-Verteilung und die Normalverteilung unterscheiden sich hauptsächlich dadurch, dass die t-Verteilung extremen Beobachtungen eine höhere Wahrscheinlichkeit zuweist als die Standardnormalverteilung (Varianz größer als 1). Mit anderen Worten, die t-Verteilung hat breitere Ausläufer als die Normalverteilung.
