Der Umkreismittelpunkt eines Dreiecks ist der Punkt, an dem sich seine drei Winkelhalbierenden schneiden, und ist auch der Mittelpunkt des umschriebenen Umkreises.
Das heißt, der Umkreismittelpunkt ist der Mittelpunkt des Umfangs, der das fragliche Dreieck enthält.
Ein weiteres wichtiges Detailkonzept besteht darin, dass die Winkelhalbierende die Linie ist, die senkrecht zu einer der Seiten des Dreiecks das Segment in zwei gleiche Teile teilt.
In der obigen Abbildung ist beispielsweise Punkt D der Umkreismittelpunkt der Figur. Ebenso sind F, G und E die Mittelpunkte jeder Seite, für die gilt:
AE = EC, BF = FA, BG = GC
Eine wichtige Eigenschaft des Umkreismittelpunkts ist, dass er von den drei Eckpunkten des Dreiecks gleich weit entfernt ist, d. h. sein Abstand zu jedem seiner Eckpunkte ist gleich.
Erwähnenswert ist auch, dass der Umkreismittelpunkt mit dem Schwerpunkt (Schnittpunkt der Mediane) und dem Orthozentrum (Schnittpunkt der Höhen) des Dreiecks auf der Euler-Geraden ausgerichtet ist.
Umkreismittelpunkt nach Art des Dreiecks
Der Umkreismittelpunkt hat bestimmte Eigenschaften, je nachdem, welche Art von Dreieck wir untersuchen:
- Rechtwinkliges Dreieck: Der Umkreismittelpunkt ist der Mittelpunkt der Hypotenuse, das ist das Segment, das vor dem inneren rechten Winkel der Figur liegt.
- Stumpfes Dreieck: Bei einem stumpfen Dreieck (mit einem stumpfen Winkel oder größer als 90º) liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks.
- Spitzwinkliges Dreieck: Bei einem spitzen Dreieck (bei dem die drei Innenwinkel kleiner als 90º sind) liegt der Umkreismittelpunkt innerhalb der Figur, wie wir im ersten Bild dieses Artikels sehen können.
Wie berechnet man den Umkreis?
Angenommen, wir haben die Informationen der Gleichung von zwei der Geraden, die Winkelhalbierende des Dreiecks sind:
y = 0,8x + 4,4
y = -0,6x + 7,6
Was wird sein Umkreis sein? Was wir tun müssen, ist herauszufinden, an welchem Punkt die Werte von x und y in den beiden Gleichungen übereinstimmen:
0,8x + 4,4 = -0,6x + 7,6
1,4x = 3,2
x = 2,2857
Dann lösche ich und:
y = (2,2857 x 0,8) + 4,4 = 6,2286
Daher liegt der Umkreismittelpunkt an folgendem Punkt auf der kartesischen Ebene: (2.2857; 6.2286).
