Die Bernoulli-Verteilung ist ein theoretisches Modell, das verwendet wird, um eine diskrete Zufallsvariable darzustellen, die nur in zwei sich gegenseitig ausschließenden Ergebnissen enden kann.
Empfohlene Artikel: Stichprobenraum, Bernoulli-Verteilung und das Gesetz von Laplace.
Bernoulli-Beispiel
Wir gehen davon aus, dass wir bei einem Radsportwettbewerb, bei dem nur zwei Fahrer antreten, sehr Fans eines Fahrers sind. Wir möchten darauf wetten, dass der Broker gewinnt.
Wenn Sie also gewinnen, ist es ein "Erfolgsergebnis" und wenn Sie verlieren, ist es ein "kein Erfolg"-Ergebnis. Schematisch:
Wir haben dieses Beispiel als dichotomen Fall behandelt. Das heißt, es gibt nur zwei mögliche Ergebnisse (um die Situation zu vereinfachen). In den theoretischen Büchern finden wir das typische Beispiel für den Wurf einer nicht ausgetricksten Münze, der darin besteht, Kopf oder Zahl zu erhalten. Da es keine möglichen Ergebnisse mehr gibt, wird die Ermittlung des Parameters p elementar.
In unserem Broker-Beispiel hätten wir auch als „erfolglos“ gelten können, wenn wir eine andere Position als den ersten Platz erhalten haben. Dann würde sich der Parameter p ändern und es wäre die Anzahl, wie oft der Broker zuerst durch die Anzahl der Gesamtpositionen geteilt werden kann. Schematisch:
Hier erscheint der Parameter p zunächst nicht sehr offensichtlich, aber es geht nur um die Anwendung des Laplaceschen Gesetzes.
Wir gehen davon aus, dass es nur 10 Positionen gibt, auf denen der Läufer nur eine davon im Rennen ergattern kann. Dann,
Übung
Berechnen Sie die Läuferverteilungsfunktion in einem Wettbewerb mit 10 Läufern.
Bernoulli-Verteilungsfunktion
- Ansatz.
Wir definieren die beiden Werte, die eine Zufallsvariable, die einer Bernoulli-Verteilung folgt, annehmen kann.
Z = 1, wenn der Läufer den Wettbewerb gewinnt = 1. Platz = ERFOLG.
Z = 0 wenn der Läufer den Wettkampf verliert = nicht 1. Platz = NICHT ERFOLGREICH.
- Zuordnung und Berechnung von Wahrscheinlichkeiten.
Nachdem wir die Z-Werte definiert haben, weisen wir die Wahrscheinlichkeiten des Ergebnisses des Experiments zu:
Oben im Beispiel haben wir die Wahrscheinlichkeiten bereits mit dem Gesetz von Laplace berechnet. Das Ergebnis war p = 1/10 und (1-p) = 0,9.
- Berechnung der Verteilungsfunktion.
Jetzt müssen wir nur noch die vorherigen Variablen in der Formel der Verteilungsfunktion ersetzen.
Wir sehen, dass die vorherigen Ausdrücke auch so ausgedrückt werden können:
Wir sehen, dass auf die eine oder andere Weise die Erfolgswahrscheinlichkeit, dh die Wahrscheinlichkeit, dass der Läufer den Wettbewerb gewinnt, immer p = 1/10 und die Nichterfolgswahrscheinlichkeit, dh die Wahrscheinlichkeit, dass er verliert, beträgt. der Wettbewerb wird auch immer (1-p) = 9/10 sein.
Der Läufer folgt also einer Bernoulli-Verteilung mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 0,1:
