Gleichgewichtsmodelle zu Zinssätzen

Die Zinsgleichgewichtsmodelle sind Gleichgewichtsmodelle, die auf einem Brownschen geometrischen Prozess und auf der Risikoneutralität der kurzfristigen Zinssätze basieren.

Mit anderen Worten, Gleichgewichtszinsmodelle verwenden kürzerfristige Zinssätze, um zukünftige Zinssätze unter Berücksichtigung der Zinsstruktur der Zinssätze zu berechnen.

Als Referenz für die kurzfristigen Zinssätze verwenden wir die Zinssätze der Nullkuponanleihen. Ein Beispiel wären kurzfristig ausgegebene spanische Schatzwechsel.

Empfohlene Elemente: Nullkuponanleihe, Option und Mean Reversion.

Die Zeitstruktur der Kurse von Nullkuponanleihen ergibt sich aus dem geometrischen Brownschen Prozess, der winzige Veränderungen der kurzfristigen Zinssätze erfasst.

Nullkuponanleihekurse werden verwendet, um den Preis von Nullkuponanleihenoptionen und Kuponanleiheoptionen zu bewerten.

Um die zukünftigen Kurse von Nullkupon-Anleihen zu berechnen, benötigen wir also kurzfristige Nullkupon-Zinssätze. Auf diese Weise können wir auch die Kurve oder Zeitstruktur von Nullkuponzinssätzen aufbauen. Sobald wir die Kurve haben, können wir die Entwicklung der langfristigen Zinssätze anhand der kurzfristigen Zinssätze bestimmen.

Laufzeitstruktur bzw. Zinskurve der nach dem Vasicek-Modell berechneten Nullkuponanleihen:

Annahmen des Gleichgewichtsmodells zu Zinssätzen

Die Annahmen des Modells sind:

• Risikoneutralität.

Als klassische Annahme für die Vermögensbewertung an den Finanzmärkten gehen wir von neutralem Risiko aus. Diese Annahme ist der Schlüssel zur Ermittlung des Preises einer Anleihe mittels Monte-Carlo-Simulation.

• Log-Normalverteilung von Anleihen und Zinssätzen.

Wir gehen von der logarithmischen Normalverteilung aus, da wir Zinssätze wie Anleihekurse als positive Variable betrachten. Es wäre nicht sinnvoll, negativ bewertete Anleihen zu bewerten. Unter der Annahme einer logarithmischen Normalverteilung der Zinssätze können wir sagen, dass die Zinssätze einem geometrischen Brownschen Prozess folgen. Wenn die Zinsverteilung eine Normalverteilung wäre, würden wir sagen, dass die Zinssätze einem Brownschen arithmetischen Prozess folgen.

Einfaktorielle Gleichgewichtsmodelle

Einfaktorielle Gleichgewichtsmodelle sind Modelle zur Berechnung der Zinsstruktur aus kurzfristigen Zinssätzen.

Wir sprechen von einem einzigen Faktor, da das Risiko oder die Unsicherheit durch einen einzigen Faktor gegeben ist: die Volatilität der Zinssätze. Es gibt Zwei-Faktor-Gleichgewichtsmodelle, die mehr Möglichkeiten bei der Zinsbewegung bieten.

Mathematisch definieren wir ein Einfaktor-Gleichgewichtsmodell der Form:

Wo,

• r (t): kurzfristige Zinssätze zum Zeitpunkt t.
• dr: Zinsänderung (r) im Zeitverlauf (dt).
• dt: Zeitablauf = Zeitentwicklung.
• m (r) dt: Richtung oder Trend (m) der Zinssätze (r) über die Zeit (dt).
• s (r): Standardabweichung der Zinssätze (r).
• dZ: Zufallskomponente oder Störung, die einer Normalverteilung mit Mittelwert 0 und Varianz 1 folgt.

Der obige Ausdruck ist als a . bekannt stochastische Differentialgleichung durch den Itô-Prozess ausgedrückt.

Modelltypen

Die gängigsten Einfaktor-Gleichgewichtsmodelle sind:

• Rendleman- und Bartter-Modell.
• Vasicek-Modell.
• Cox-, Ingresoll- und Ross-Modell.