Die Matrixmultiplikation besteht darin, zwei oder mehr Matrizen linear zu kombinieren, indem ihre Elemente in Abhängigkeit von ihrer Position in der Ursprungsmatrix unter Berücksichtigung der Reihenfolge der Faktoren addiert werden.
Mit anderen Worten, die Multiplikation zweier Matrizen besteht darin, die Matrizen in einer einzigen Matrix zu vereinigen, indem die Elemente der Zeilen und Spalten der Quellmatrizen unter Berücksichtigung der Reihenfolge der Faktoren multipliziert und addiert werden.
Empfohlene Artikel: Operationen mit Matrizen, quadratische Matrix.
Matrix-Multiplikation
Gegeben zwei Matrizen Z Ja Ja von n Zeilen und m Spalten:
Eigenschaften
- Die Dimension der Ergebnismatrix ist die Kombination der Dimension der Matrizen. Mit anderen Worten, die Dimension der Ergebnismatrix sind die Spalten der ersten Matrix und die Zeilen der zweiten Matrix.
In diesem Fall finden wir das Znein (Reihen von Z) gleich Jaich(Spalten von Y), um sie multiplizieren zu können. Wenn sie gleich sind, lautet die Ergebnismatrix:
Beispiele
- Wir multiplizieren Matrizen zwei mit zwei.
Wir multiplizieren die Matrizen zwei mal zwei, um die Abmessungen der ursprünglichen Matrizen zu erhalten und den Prozess zu erleichtern.
- Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ.
Kommutatives Eigentumsschema
Die Kommutativeigenschaft steht für diesen bekannten Satz: Die Reihenfolge der Faktoren ändert nichts am Ergebnis.
Wir finden diese Eigenschaft bei der gewöhnlichen Addition und Multiplikation, dh wenn wir ein beliebiges Objekt addieren und multiplizieren, das keine Matrix ist.
Nach dem obigen Schema sagt uns die Kommutativeigenschaft, dass wir, wenn wir zuerst die blaue Sonne und dann die gelbe Sonne multiplizieren, das gleiche Ergebnis (grüne Sonne) erhalten, als wenn wir zuerst die gelbe Sonne und dann die blaue Sonne multiplizieren.
Wenn also die Multiplikation von Matrizen die Kommutativeigenschaft nicht respektiert, impliziert dies, dass die Reihenfolge der Faktoren Ja beeinflusst das Ergebnis. Mit anderen Worten, wir werden die grüne Sonne nicht bekommen, wenn wir die Reihenfolge der gelben und blauen Sonnen ändern.
Prozess
Wir können die vorherigen Matrizen multiplizieren, wenn die Anzahl der Zeilen in der Matrix Z gleich der Anzahl der Spalten in der Matrix Ja. Nämlich, Znein = Jaich.
Sobald festgestellt ist, dass wir die Matrizen multiplizieren können, multiplizieren wir die Elemente jeder Zeile mit jeder Spalte und addieren sie so, dass nur eine Zahl an der Stelle übrig bleibt, an der die vorherigen blauen Ovale zusammenfallen.
Zuerst finden wir, wo die blauen Ovale zusammenfallen und dann machen wir die Summe der Multiplikationen der Elemente.
- Für das erste Element der Ergebnismatrix sehen wir, dass die Ovale dort zusammenfallen, wo das Element z ist11.
- Für das letzte Element der Ergebnismatrix sehen wir, dass die Ovale im Element zusammenfallen undnm.
Theoretisches Beispiel
Gegeben zwei quadratische Matrizen D Ja UND,
Multiplizieren Sie die vorherigen Matrizen.
Wir beginnen mit der Multiplikation der ersten Zeile der Matrix D mit der ersten Spalte der Matrix UND. Dann machen wir dasselbe, behalten aber die Zeile oder Spalte jeder Matrix bei, je nachdem, ob wir einige Elemente oder andere multiplizieren möchten. Wir wiederholen den Vorgang, bis wir alle Lücken ausgefüllt haben.
Übung
Beweisen Sie, dass die Kommutativeigenschaft im Produkt von Matrizen nicht erfüllt ist.