Matrix Quadratische Form - Was ist das, Definition und Konzept

Die quadratische Matrixform ist das Produkt der Multiplikation eines Vektors der Ordnung n mit einer beliebigen quadratischen Matrix mit dem transponierten Vektor der Ordnung n.

Mit anderen Worten, die quadratische Matrixform ist eine Linearkombination einer quadratischen Matrix, eines Vektors der Ordnung n und der Transponierten dieses Vektors.

Empfohlener Artikel: Operationen mit Matrizen.

Matrix quadratische Formformel

Gegeben eine quadratische Matrix Z der Ordnung n und einem Vektor h von n Dimensionen können wir den Ausdruck quadratische Form der Form schreiben:

Das Ergebnis der quadratischen Form ist immer ein Skalar, also eine einzelne Zahl, keine Matrix.

Anwendungen

Die quadratische Matrixform wird verwendet, um den Grad der Positivität und Negativität der definierten Matrizen zu bestimmen. Abhängig von den Werten des Vektors h ist der Wert der quadratischen Form null (0), positiv oder negativ.

Sobald wir die quadratische Form erhalten haben, können wir sagen, dass wir die Matrix "definiert" haben. Wir können also von einer bestimmten Matrix sprechen. Diese Matrix kann positiv definit, positiv semidefinit, negativ definit und negativ semidefinit sein.

Praxisbeispiel

Finden der quadratischen Form der quadratischen Matrix Z ein Vektor h gegeben:

Prozess

Zuerst transponieren wir den Vektor h.

Dann wenden wir die Formel der quadratischen Form an.

Wie bereits erwähnt, wird das Ergebnis der quadratischen Form immer eine einzelne Zahl sein. In diesem Fall ist es eine streng positive Zahl.

Aber … Wie kann es sein, dass das Ergebnis eine konkrete Zahl und keine Matrix ist, wenn wir Matrizen multiplizieren?

Die Reduzierung der Dimension der Matrix durch Multiplikation erfolgt, weil wir Matrizen multiplizieren, die dieselbe Anzahl von Spalten und Zeilen teilen.

Demonstration:

Aus dem Matrixprodukt Z und aus dem transponierten Vektor h verbleibt ein Vektor der Dimension 3 × 1. Ebenso bleibt das Produkt aus Ergebnisvektor und Vektor h eine Matrix der Dimension 1 × 1. Eine Matrix der Dimension 1 × 1 ist ein Skalar.

Wenn wir also die quadratische Form einer Matrix berechnen und eine Matrix mit einer Dimension größer als 1 × 1 erhalten (wir erhalten ein anderes Ergebnis als eine bestimmte Zahl), bedeutet dies, dass wir in einem Schritt einen Fehler gemacht haben und dass die Ergebnis ist falsch.