Ein mathematisches Modell ist ein Modell, das mathematische Formeln verwendet, um die Beziehung zwischen verschiedenen Variablen, Parametern und Einschränkungen darzustellen.
Ein mathematisches Modell ist eine vereinfachte Darstellung eines Phänomens oder der Beziehung zwischen zwei oder mehr Variablen durch mathematische Gleichungen, Funktionen oder Formeln. Der Zweig der Mathematik, der für die Untersuchung der Eigenschaften und Struktur von Modellen zuständig ist, ist die sogenannte "Modelltheorie".
Wozu dient ein mathematisches Modell?
Mathematische Modelle werden verwendet, um die Beziehung zwischen zwei oder mehr Variablen zu analysieren. Sie können verwendet werden, um natürliche, soziale, physikalische Phänomene usw. Abhängig vom angestrebten Ziel und der Gestaltung desselben Modells können sie unter anderem verwendet werden, um den Wert der Variablen in der Zukunft vorherzusagen, Hypothesen aufzustellen, die Auswirkungen einer bestimmten Politik oder Aktivität zu bewerten.
Obwohl es ein theoretisches Konzept zu sein scheint, gibt es in Wirklichkeit viele Aspekte des täglichen Lebens, die von mathematischen Modellen bestimmt werden. Was passiert ist, dass es sich nicht um mathematische Modelle handelt, die sich auf die Theoriebildung konzentrieren. Vielmehr handelt es sich um mathematische Modelle, die so formuliert sind, dass etwas funktioniert. Zum Beispiel ein Auto.
Grundelemente eines mathematischen Modells
Mathematische Modelle können in ihrer Komplexität variieren, aber sie haben alle eine Reihe grundlegender Eigenschaften:
- Variablen: Sie sind die Konzepte oder Objekte, die man verstehen oder analysieren möchte. Vor allem in Bezug auf seine Beziehung zu anderen Variablen. So kann beispielsweise das Gehalt der Arbeiter eine Variable sein, und was wir analysieren wollen, sind ihre wichtigsten Determinanten (zB: Studienjahre, Ausbildung der Eltern, Geburtsort usw.).
- Parameter: Dies sind bekannte oder kontrollierbare Werte des Modells.
- Beschränkungen: Es sind gewisse Grenzen, die darauf hinweisen, dass die Ergebnisse der Analyse vernünftig sind. Wenn beispielsweise eine der Variablen die Anzahl der Kinder einer Familie ist, besteht eine natürliche Einschränkung darin, dass dieser Wert nicht negativ sein darf.
- Beziehungen zwischen Variablen: Das Modell stellt eine bestimmte Beziehung zwischen den Variablen auf der Grundlage wirtschaftlicher, physikalischer, chemischer Theorien usw. her.
- Vereinfachte Darstellungen: Eines der wesentlichen Merkmale eines mathematischen Modells ist die Darstellung der Beziehungen zwischen den untersuchten Variablen durch Elemente der Mathematik wie: Funktionen, Gleichungen, Formeln usw.
Gewünschte Eigenschaften eines mathematischen Modells
Wenn ein mathematisches Modell entworfen wird, soll es eine Reihe von Eigenschaften aufweisen, die dazu beitragen, seine Robustheit und Effektivität sicherzustellen. Zu diesen Eigenschaften gehören:
- Einfachheit: Eines der Hauptziele eines mathematischen Modells ist es, die Realität zu vereinfachen, um sie besser zu verstehen.
- Objektivität: Dass es keine Vorurteile hat, weder theoretisch noch von den Vorurteilen oder Ideen seiner Designer.
- Empfindlichkeit: Dass es in der Lage ist, die Auswirkungen kleiner Variationen widerzuspiegeln.
- Stabilität: Dass das mathematische Modell bei kleinen Änderungen der Variablen nicht wesentlich verändert wird.
- Universalität: Dass es auf mehrere Kontexte anwendbar ist und nicht nur auf einen bestimmten Fall.
Natürlich gibt es noch viel mehr, aber die oben genannten sind die intuitivsten.
Prozesse zur Erstellung eines mathematischen Modells
Im Allgemeinen ist der Prozess der Entwicklung eines mathematischen Modells wie folgt:
- Finden Sie ein Phänomen oder Problem.
- Formulieren Sie ein Modell mit mathematischen Elementen, die das gewählte Problem darstellen, indem Sie die relevanten Variablen (abhängig und unabhängig) identifizieren.
- Stellen Sie Hypothesen und eine Testmethode für ihre Richtigkeit auf.
- Wenden Sie mathematisches Wissen an, um das Modell zu lösen und gegebenenfalls Vorhersagen zu treffen.
- Vergleichen Sie die erhaltenen Daten mit realen Daten.
- Wenn die Ergebnisse nicht den Erwartungen entsprechen, passen Sie das mathematische Modell an.
Arten von mathematischen Modellen
Es gibt verschiedene Arten von mathematischen Modellen. Hier sind einige der relevantesten Modelltypen:
Nach den verwendeten Informationen
- Heuristik: Basierend auf möglichen Erklärungen über die Ursachen der beobachteten Phänomene.
- Empirisch: Verwendet Informationen aus tatsächlichen Experimenten.
Nach Art der Darstellung
- Qualitativ oder konzeptionell: Sie beziehen sich auf eine Analyse der Qualität oder des Trends eines Phänomens, ohne einen genauen Wert zu berechnen.
- Quantitativ oder numerisch: Die erhaltenen Ergebnisse haben einen bestimmten Wert, der eine bestimmte Bedeutung hat (er kann genau oder relativ sein).
Nach dem Zufall
- Deterministisch: Es hat keine Unsicherheit, die Werte sind bekannt.
- Stochastisch: Der Wert der Variablen ist nicht immer genau bekannt. Es besteht Unsicherheit und damit eine Wahrscheinlichkeitsverteilung der Ergebnisse.
Je nach Anwendung oder Zielsetzung
- Simulation oder beschreibend: Simuliert oder beschreibt ein Phänomen. Die Ergebnisse konzentrieren sich darauf, vorherzusagen, was in einer bestimmten Situation passieren wird.
- Optimierung: Sie werden verwendet, um eine optimale Lösung für ein Problem zu finden.
- der Kontrolle: Um die Kontrolle über eine Organisation oder ein System zu behalten und die Variablen zu bestimmen, die angepasst werden müssen, um die gewünschten Ergebnisse zu erzielen.