Die Ableitung einer Exponentialfunktion ist gleich der Ableitung des Exponenten, multipliziert mit der ursprünglichen Funktion und dem natürlichen Logarithmus der Basis.
Das heißt, mathematisch gesehen hätten wir die folgende Formel:
In der obigen Funktion ist z die Basis und y eine Funktion von x, deren Ableitung wie in unserem Artikel zur Ableitung einer Funktion beschrieben berechnet werden kann.
Wir müssen uns daran erinnern, dass eine Ableitung eine mathematische Funktion ist, die es uns ermöglicht, die Änderungsrate einer (abhängigen) Variablen zu berechnen. Dies, wenn eine Variation in einer anderen Variablen (die die unabhängige wäre) registriert wird, die sie beeinflusst.
Fälle der Exponentialfunktion
Die Exponentialfunktion stellt zwei Sonderfälle dar:
- Wenn der Exponent x ist, ist die Ableitung davon 1. Daher ist die Ableitung der Exponentialfunktion gleich dieser Funktion mal dem natürlichen Logarithmus der Basis, wie wir unten sehen:
- Wenn die Basis die Konstante e ist, ist ihr natürlicher Logarithmus 1. Daher wäre die Ableitung der Exponentialfunktion gleich der Ableitung des Exponenten mal der ursprünglichen Funktion.
Beispiele für die Ableitung einer Exponentialfunktion
Schauen wir uns einige Beispiele für exponentielle Funktionen an:
Nun ein zweites etwas komplexeres Beispiel:
Schauen wir uns nun ein Beispiel an, bei dem der Exponent eine trigonometrische Funktion ist:
